几何综合.知识精讲.docx
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几何综合知识网络图题型一中点类辅助线专题一知识框架＜专题二题型二角平分线类辅助线 几何常见类型辅助线］题型三线段间关系类辅助线题型四单线段最值类辅助线、题型五其他类辅助线「题型一旋转 与三大变换有关的辅助线＜ 题型二对称题型三平移专题三弦图类辅助线•知识精讲I -、几何常见辅助线秘籍1、中点类辅助线秘籍一：见中点 倍长中线解读：凡是与中点连线的线段都可看作是中线，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长 度的线段，从而达到将条件进行转化的目的，构成八字全等秘籍二：见多个中点 构造中位线解读：凡是出现中点或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，或连接中点，从而 达到构造三角形中位线的目的秘籍三：见等腰三角形底边中点 连接顶点与中点，构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或等腰三角形与中点时，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口;其他位置的也要能看出秘籍四：见垂直平分线 构造等腰三角形秘籍五：见直角三角形与中点 构造直角三角形斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，还有中点，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段, 第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
注：有关此类辅助线常常由中点倍长引出，再构 造直角三角形他位置的也要能看出2、角平分线类辅助线秘籍一：见角平分线 作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题秘籍三：见角平分线是高线 补全等腰三角形解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形秘籍四：见角平分线 过角平分线上的点作角一边的平行线解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：角平分线+平行线，等角三角形现3、 线段间关系类辅助线秘籍一：见线段间数量关系 截长补短或旋转解读：只要出现类似AB土CD=nEF的线段关系，就可以采取截长补短的方法来做辅助线，注意这个方法 可以说是四个方法，由于方向性的不同，所以截长两种，补短两种；出现类似AB2 土CD2 = nEF2的 线段关系时，截长补短就不行了，就得采取旋转的方法来做辅助线秘籍二：见线段间大小关系 通过平移构三角形解读：只要出现线段间的大小关系，就可以通过平移构成所需三角形，利用三角形的三边关系来解决 相关为题4、 单线段最值类辅助线秘籍：借助中点解读：当求单线段最大值时，要寻找这条线段所在的动态三角形，并且这个动态三角形需满足除了要 求的这条边，其他两边为定长，若没有满足条件的动态三角形，则可以借助中点(中点可以引出中位 线和直角三角形斜边中线)构造动态三角形。
二、与三大变换有关的辅助线1、旋转(1)手拉手模型一一全等1•等边三角形条件：AOAB , AOCD均为等边三角形结论：① AOAC^AOBD :② ZAEB = 60③ OE 平分 ZAED （易忘）DABa条件:AOAB , AOCD均为等腰直角三角形结论：O① AOAC9AOBD :②上AEB = 90③ OE 平分 ZAED （易忘）E3•任意等腰三角形导角核心图形条件：AOAB , AOCD均为等腰三角形且ZAOB = ZCOD结论：①AOAC今AOBD :②ZAEB = ZAOB③OE平分ZAED （易忘） 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：① OA = OB , OC = OD ② ZAOB = ZCOD（2）手拉手模型一一相似条件：CD^AB，将AOCD旋转至右图位置ZBOA结论：右图AOCDsAOAB o AOACsAOBD且延长AC交BD与点E必有ZBEC 非常重要的结论，必须会熟练证明.手拉手相似（特殊情况）：对角线互相垂条件:直四边形）（3）对角互补模型结论:① CD = CE :② OD + OE 八2oc ；③ Sodce = Saocd+ S =10C 2AOCE 2当 ZAOB = 90。
时，除 AOCDsAOAB o AOACsAOBD 之外，还会隐藏匹=°D = °B = tanZOCD , AC OC OA满足 BD 丄 AC，若连结 AD、BC，贝V必有 AD2 + BC2 = AB2 + CD2，S = AC x BDABCD 2① ZAOB = ZDCE = 90② OC 平分 ZAOB辅助线之一：作垂直，证明NCDM逊CENB条件:结论:① ZAOB = ZDCE = 90① CD = CE ；② OD + OE 八 2OC②OC平分ZAOB（重点）；=2OC 2 （难点）③ S = S + SODCE AOCD AOCE请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握.过点C作CF丄OC，证明AODC9AFEC，当ZDCE 一边交AO延长线上于点D时,辅助线之二:当ZDCE —边交AO延长线上于点D时，如图② OE — OD = y2OC （重点）；③ S — S =10C2 （难点）AOCE AOCD 2ODCE AOCD AOCE 22.全等型——120ODCE AOCD AOCE细节变化：若将条件“ OC平分ZA0B ”与结论“ CD = CE ”互换 条件：① ZAOB = ZDCE = 90。
② CD = CE结论：①OC平分ZAOB ；② OD + OE 二込OC ;③ S = S + S = 10C 2条件：① ZAOB = 2ZDCE = 120② OC 平分 ZAOB结论：① CD = CE ； ® OD + OE = OC ； ③ S = S + S = OC2辅助线之一：请模仿（全等形一90辅助线之一完成证明.辅助线之二：在OB上取一点F，使OF = OC，证明AOCF为等边三角形（重要）ODCE AOCD AOCE 4当ZDCE —边交AO延长线上于点D时，如图结论：①CD = CE ；② OD + OE = OC ；③ s = S + S =3 OC 2以上三个结论：（辅助线之二）① CD = CE② OE - OD = OC2a :② CD = CE③ S — S 二 OC 2△ OCE △OCD 43.全等型——任意角a结论：①OC平分上AOB ；② OD + OE = 2OC - cos a③ S 二 S + S 二 OC2详加a^osaODCE \OCD AOCE 口 口当ZDCE —边交AO延长线上于点D时，如图条件: 结论:③ S - S = OC2 - sin a - cos a△ OCE △OCD① CD = CE② OE - OD = 2OC - cos a①ZAOB = ZDCE = 90。
不变，ZCOE =a，结论中三个条件又该如何变化?① CE = CD 汁an a ；② (OD汁an a + OE)cos a 二 OC =10C 2pfan a△OCE 2证明：过点C作CF丄OC，交OB于点F•・• ZDCE = ZOCF = 90・•・ ZDCO = ZECF•・• ZAOB + ZDCE = 180・•・ ZCDO + ZCEO = 180・•・ ZCDO = ZCEF・•・ ACDOs^CEF.ef ce cf t 碍上、.• = = = tan a (关键步)do cd co・•・结论①得证EF = OD汁an a•.* (OE + EF)fosa = OC・•・结论②得证S ,CF、・ acef = ( )2 = tan 2 a…s coacdoS = S tan2 aacef acdo 口s + s = saoce acef aocf且 S = — OC2 tan aaocf 2 口・•・结论③得证【总结】①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线② 初始条件：角平分线与两边相等的区别③ 常见两种辅助线的作法④ 注意下图中“ OC平分ZAOB ”zcde = zced = zcoa = zcob相等是如何推导DaF5.角含半角模型——90°DFC条件：①正方形ABCD :②ZEAF = 45。
结论：①EF = df + be②acef周长为正方形abcd周长一半也可以这样：条件：①正方形abcd :②ef = df + be结论：①ZEAF = 45°口诀：角含半角要旋转.条件：①正方形ABCD :②ZEAF = 45 结论：①EF = DF - BE条件：①等腰直角AABC :②ZDAE = 45 结论：BD2 + CE2 = DE2若ZDAE旋转到AABC外部时结论：BD2 + CE2 = DE2仍然成立角含半角模型（90°）变形条件：① ZEAF = 45结论：AAHE为等腰直角三角形（重点/难点） 证明：连接AC （方法不唯一）・•・ AADHsAACEZDAC = ZEAF = 45 ZDAH = ZCAE T ZADH = ZACE = 45° ,.DA _ AC'* AH~ AE:.AAHEsAADC2、对称秘籍一：四大轴对称模型解读：线段和最大最小问题、线段差最大最小问题、三角形周长最小问题，四边形周长最小问题 轴对称模型类型一、线段和最大最小问题同侧异侧lA'A类型二、线段差最大最小问题1、PA- PB 最小同侧llAlA2、PA - PB 最大【变形】异侧时，也可以问：在直线l上是否存在一点P使的直线l为ZAPB的角平分线同侧异侧类型三、三角形周长最短类型A'类型四、四边形周长最短 类型一类型二过桥类型类型三类型一.AB”B'轴对称秘籍：①作中垂线然后作对称，构造轴对称图形②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模 型③对称轴是对称点的连线的中垂线3、平移秘籍一：构造平移模型解读：常用的构造平行线、构造三角形、构造平行四边形、延长一边然后截取等线段都是常用的构造 平移的方法三弦图类辅助线赵爽弦图从赵爽弦图衍生出了众多的几何模型，下面给大家介绍一下常用的几何模型秘籍一：三垂直模型解读：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作该直线的垂线，构造三 垂直模型秘籍二：一线三等角模型解读：只要出现三个角相等，或出现两个角可以构造三等角模型，该模型出相似，可以利用相似比例 去解题■:解题方法技巧J1、SSx L--_2、见等边△。
标 60°3、构造相等角ooooooooo作〃或作丄4、。
