2023年高中数学竞赛题之平面几何.doc

第一讲 　注意添加平行线证题 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线，则能使证明顺畅、简洁．　 　 添加平行线证题,一般有如下四种情况.1　　　为了改变角的位置 　 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.运用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 设P、Ｑ为线段BＣ上两点,且ＢP＝CQ,A为ＢC外一动点（如图1).当点A运动到使∠ＢAP=∠CAＱ时,△ABＣ是什么三角形？试证明你的结论.答: 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ＡＢC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、Ｂ作ＡC、AＱ的平行线得交点D.连结DA．在△DBP=∠AQC中，显然 ∠DBP＝∠AQC，∠ＤPＢ=∠C.由ＢＰ＝CＱ,可知 　 　　 　 　△DBＰ≌△ＡQC. 　 　　 有DＰ＝ＡC，∠BDP＝∠QAC．于是,ＤA∥BＰ,∠BAP＝∠BDＰ．则A、D、B、Ｐ四点共圆，且四边形ＡＤBP为等腰梯形.故AB=ＤＰ. 　所以ＡB=AC. 　 　这里,通过作平行线,将∠ＱＡC“平推”到∠ＢＤP的位置．由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅．例2　 如图2,四边形ABCD为平行四边形，∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ＡDＥ. 证明：如图２,分别过点A、Ｂ作ED、EC的平行线,得交点P,连PE. 由AB　　 CＤ,易知△PBA≌△EＣD.有PA＝ED,ＰB=ＥC． 　 显然,四边形PBＣE、ＰADE均为平行四边形.有 ∠ＢCE=∠BPE，∠APE=∠ADE.　　 由∠BＡＦ=∠BCＥ,可知　 　　∠BAF=∠BPE. 　 有P、B、Ａ、E四点共圆.　　 于是，∠EＢA=∠APE． 所以,∠EBA＝∠ADＥ. 　　　这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、Ｅ四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠ＥＢＡ与∠ADE相等的媒介，证法很巧妙.2 　 欲“送”线段到当处 运用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线，将某些线段“送”到恰当位置,以证题．例３ 在△ABＣ中,ＢD、CE为角平分线,Ｐ为ED上任意一点．过P分别作ＡC、AＢ、BC的垂线,M、Ｎ、Q为垂足.求证:PＭ+PN＝PQ．证明：如图3，过点P作AB的平行线交ＢD于F,过点F作BＣ的平行线分别交ＰＱ、AＣ于Ｋ、G,连PG. 由ＢD平行∠ABC,可知点F到AB、BＣ两边距离相等.有KQ=PN. 　显然,==,可知ＰG∥ＥC. 　　 由CE平分∠BＣA,知ＧP平分∠FＧA.有PK＝ＰＭ.于是, PM＋PＮ=PK＋KQ＝PＱ. 这里,通过添加平行线,将ＰQ“掐开”成两段，证得PＭ＝ＰK,就有PM+ＰN＝PQ.证法非常简捷.3　　　为了线段比的转化 　 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得相应线段成比例”，在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常碰到的.例４ 设M１、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1=CM2.任作一直线分别交ＡB、ＡC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证:＋=＋．证明:如图4,若PQ∥BC,易证结论成立． 若PQ与BC不平行,设PQ交直线BＣ于D.过点A作ＰＱ的平行线交直线ＢC于E. 　　 由ＢM1＝CＭ2,可知BＥ＋ＣE=M1E+M2E，易知 =,＝, =，＝. 则＋=＝＝＋.所以,+=+. 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AＢ于F.求证:∠FDA=∠EDA.证明:如图5,过点A作ＢC的平行线,分别交直线ＤE、DF、BＥ、ＣF于Ｑ、P、N、M. 显然,＝=．有BD·AM＝DC·AN． 　 　 　　　　 　 　　 (1)由==，有 　 　AP=.　 　　　　 (2)由=＝，有 　 AQ=. 　　 (3）对比(１）、(2)、(３）有 AP=AＱ.显然AD为PQ的中垂线,故ＡD平分∠PDQ．　所以,∠FDA=∠EDA.这里,原题并未涉及线段比，添加ＢＣ的平行线,就有大量的比例式产生,恰本地运用这些比例式,就使ＡP与AQ的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递 当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6　　在△ABC中，AＤ是BＣ边上的中线,点M在AＢ边上，点N在AC边上，并且∠MDN=９０°.假如BM2＋CN２＝DM2+DN2,求证：ＡD2＝(AB2+ＡＣ２).证明：如图6,过点Ｂ作ＡC的平行线交NＤ延长线于Ｅ.连ME. 　　 由BD=ＤC,可知EＤ=DＮ.有 △ＢED≌△CNＤ.　 　于是,ＢE＝ＮC. 　 显然,MD为EN的中垂线.有 　ＥM=MN．由BＭ2＋ＢE2＝BＭ2＋ＮC2=MD2+DN２=MN2＝ＥＭ2,可知△BEＭ为直角三角形,∠MＢＥ＝90°.有 　　 ∠ABC＋∠ACB ＝∠ABC＋∠EＢC=9０°． 　于是,∠BAC=９０°. 　 所以,AＤ2＝＝（ＡB2＋AC2). 这里，添加ＡC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EＮ,使解题找到出路.例7 如图7，AＢ为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点Ｅ、F,使ＥA＝DA,FB＝ＤＢ．过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分ＥF. 证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足,连ＦＡ、EB.易知 　 ＤB2=FＢ2＝AB·HB, 　 ＡD2=ＡE2＝AＧ·AＢ.　 　　二式相减,得 　 DB2-ＡD2＝AＢ·（HB－AＧ),或　 (DB－ＡD)·AB＝AB·（HB-AG).于是,DB-AD=HＢ－ＡＧ,或 DB－ＨB=AD-AＧ. 就是DＨ=ＧＤ. 显然,EG∥CD∥FH． 　故CD平分ＥF.　 　这里,为证明ＣD平分EＦ,想到可先证CＤ平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FＨ,从而得到G、H两点.证明很精彩. 通过一点的若干直线称为一组直线束. 　一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.　 如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,ＤE是与BC平行的直线．于是，有 　 　 = =,即　 =或=. 　此式表白,ＤM=ME的充要条件是 BN=NC. 运用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很美丽.例８ 如图9，ABＣD为四边形,两组对边延长后得交点Ｅ、F,对角线BD∥EF,AC的延长线交EF于G.求证：EＧ＝ＧF.证明：如图9，过C作EF的平行线分别交AE、ＡF于M、N．由BD∥EF,可知ＭＮ∥BD.易知 　Ｓ△BEＦ=S△ＤEF. 　 有S△BEC=S△ⅡKG－ ＊5ⅡDFC． 　 可得MC=CN. 　所以,EG=GF.例9 　如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、Ｅ、F分别为⊙O与BＣ、CA、AB的切点．若OD与EF相交于Ｋ,求证:AK平分BＣ.证明：如图1０,过点K作BC的行平线分别交直线AB、AC于Q、Ｐ两点,连OＰ、OQ、OE、OF. 　由ＯＤ⊥BC，可知OK⊥ＰQ.　 　 　由ＯF⊥AB,可知O、K、Ｆ、Q四点共圆,有 ∠ＦOQ=∠ＦKQ.　 由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆.有　　　　∠EＯＰ=∠ＥKP. 　 显然，∠FKQ=∠EKP，可知　　　　∠ＦＯQ=∠EＯＰ.　 由OＦ=ＯＥ,可知 Rt△ＯFQ≌Rt△OＥP. 　则OQ＝OP． 　　于是,OK为PＱ的中垂线,故 QK＝KP． 　所以,AＫ平分BC.　　 综上，我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1．　四边形AＢCD中，AB＝CＤ，M、N分别为AD、ＢC的中点,延长BA交直线ＮM于E，延长CＤ交直线NＭ于F.求证：∠ＢＥＮ＝∠CFN．（提醒：设P为ＡC的中点,易证PM=PＮ．)２. 设P为△AＢC边BC上一点,且PC＝２PB.已知∠ABC＝４５°,∠APC＝６0°．求∠ＡCB．(提醒:过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证△ACD∽△PＢA．答:75°）3. 六边开ABCDEＦ的各角相等，FA=AB=ＢＣ,∠EBD=6０°,Ｓ△EＢＤ＝60ｃm2.求六边形AＢCDEF的面积．(提醒：设ＥF、DC分别交直线AB于P、Q，过点E作DC的平行线交AＢ于点M.所求面积与EＭQD面积相等.答:120cm2)４. ＡD为Ｒt△ＡBC的斜边BＣ上的高,Ｐ是AD的中点,连BP并延长交AC于E．已知AC:AB=ｋ.求ＡE:ＥＣ.(提醒：过点A作BＣ的平行线交BE延长线于点F．设ＢＣ＝1,有AD=k,DC=ｋ２．答:)5.　AＢ为半圆直径,C为半圆上一点,CD⊥ＡB于D,E为DB上一点,过D作ＣＥ的垂线交CB于F．求证：＝．(提醒:过点F作ＡB的平行线交CE于点H.H为△CDF的垂心.）６. 在△ABC中,∠Ａ:∠B:∠C＝4：２:1,∠A、∠B、∠C的对边分别为ａ、ｂ、c.求证：+＝.(提醒:在BC上取一点D,使ＡD＝AB.分别过点B、Ｃ作AD的平行线交直线ＣA、BＡ于点Ｅ、F.)7. 分别以△AＢＣ的边AC和ＢC为一边在△ABC外作正方形AＣDE和ＣBＦG,点P是EF的中点．求证：P点到边AB的距离是AＢ的一半.8．　△ABＣ的内切圆分别切BC、CA、AB于点Ｄ、Ｅ、F,过点F作BＣ的平行线分别交直线DA、ＤＥ于点H、G.求证:FH＝HG.(提醒:过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点Ｍ、N.)9. ＡD为⊙O的直径,PD为⊙O的切线,PCB为⊙Ｏ的割线,ＰO分别交AB、AC于点M、N.求证：ＯM＝ON.(提醒:过点Ｃ作PM的平行线分别交AＢ、AD于点Ｅ、F.过O作BP的垂线,G为垂足.ＡB∥GF.)第二讲　巧添辅助　妙解竞赛题 在某些数学竞赛问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径．下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思绪．１ 　 挖掘隐含的辅助圆解题 有些问题的题设或图形自身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化．1．1 　作出三角形的外接圆例1　　如图1,在△ABＣ中,ＡB＝AＣ,D是底边ＢＣ上一点,E是线段AD上一点且∠BＥD＝2∠CＥD=∠Ａ.求证：BD＝2CD.分析：关键是寻求∠BＥD＝２∠CＥD与结论的联系.容易想到作∠ＢED的平分线,但因BE≠ED,故不能直接证出BD＝2CD．若延长ＡD交△ABＣ的外接圆于F,则可得EB＝ＥF,从而获取.证明：如图１，延长AD与△ＡBＣ的外接圆相交于点F,连结CF与BＦ,则∠BFA=∠BCＡ=∠ABＣ＝∠AFC,即∠BFD=∠CFＤ.故BF:ＣF＝BD:DC． 　 又∠BＥＦ=∠BAC,∠B。