中学教学辅助线探析.docx

2、遇到中点，常找中位教学时，要注重强调添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不 能见到题目，就无目的地添加辅助线一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思 考问题同时，还应注重常见的辅助线的教学，使学生体会到许多辅助线的添加是有规可循 的，从而进一步提高分析问题能力不断引导学生总结一些带有规律性结论，有助于拓宽思 路，丰富联想，而达到融会贯通的目的在三角形、四边形、梯形中，如果已知一边的中点，常找另一边或对角线的中点，以 便够成三角形或梯形的中位线，从而利用中位线的性质把图形中隐含的条件明显化是问题 得到解决例1 ：已知M和N分别是四边形ABCD的边BC和AD的中点，求证：MN<1\2 (AB+CD)D分析:连接对角线AC取它的中点P,连接PM、PN在ZXPMN中有MN

已知角的平分线，莫忘构成全等形例：在RtAABC中，ZA的平分线AD交BC于D,亠、十 AB-AC求证：tgZCAB= .分析：如图I,过D作DE丄AB于E,从而得△ ACD^AAED,.•.AE=AC, DE=DC, ZBDE=ZCAB,V tgZCAB=tgZBDE=—=朋―"DE CD3、遇到中线，把它加倍延长如果见到三角形的中线，常把它延长一倍，可构成全等形或平行四边形，使图形产生新 的关系，为证题创造条件例：如图3,在证AABC中,M为BC边中点,求证：AM<1\2 (AB+CA)、、I7N图3分析：延长AM到N使MN=AM,连接BN,在ABN中，AN

平行线分段成比例定理是最基 本得一条此外还有由它导出的三角形相似的性质定理，三角形角平分线定理，园幕定理等 因此遇到成比例的问题，常可通过作平行线、连接（构成相似）等方法解决例如在不能直接通过相似的关系得到成比例线段的情况下，通过添加辅助线段的情况 下，通过添加辅助平行线是获得比例线段与相似形的各端点作平行线，就可以得论证的效果5、 优先考虑成比例线段的交点且又是端点例.在AABC的AB、AC边上分别取H、E两点使HB=EC, HE与BC的延长线交于F, 则 AB:AC=FE:FH.分析：因为过E （或H）均是原比例线段中AC与FH（AB与FH）的交点，所以优先考虑过E （或AEC）,故有二种证法：证法 1：如图 1,过 E 作 EM/7AB,交 BC 于 M,则厶ABC^AEMC, AFHB^AFEM.B.•.AB:AC=EM:EC EM:HB=FE:FH 图 1VEC=HB ...AB:AC=FE:FH证法 2：如图 2,过 H 作 HN#AC 交 BC 于 N,则厶BNH<^ABCA, AFEC^AFHNFE:FH=HB:HNVHB=EC .\AB:AC=FE:FH6、优先考虑若端点（或分点）同时又是特殊点（一般指中点、内心、已知的分点、两 从叠比的交点等）例2. AABC中，AD是BC边中点，过B作一直线交AD或其延长线于P,交AC或其延长于 E,则 AP： PD=2AE:EC分析：因为D是AP： PD从叠比的端点，又是BC中点，所以优先考虑，过D作辅助线.证法1：如图3过D作DM〃PE交AC于M,VBD=DC.\EM=MC=ECAP: PD=AE: EM=AM: EC=2AE: EC 注：P点在AC延长线上，证法类似. 证法2：如图4,过P作PN/7AC交BE于N,•.•BD=DC, PN〃AC.・.PN=EC又 VAAPE^ADPN,.•.AP:PD=AE:PN=2AE:EC7、若过端点或分点作平行线有等量可利用的情况，优先考虑.例3.在ZUBC的BC边得延长线上取一点D,从D引一直线交AC、AB于E、F,使ZAEF=ZAFE, 求证：BD:CD=BF:CE分析：用已知条件中，ZAEF=ZAFE,而C点即是端点又是分点，过C作CF〃BA又有等角可 利用，故应优先考虑.证明：如图5,过C作CG/7BA交DF于G点，则BD:CD=BF:CG,①VZ1=Z2=Z3, Z>Z4 图 5Z3=Z4.•.CG=CE,带入① 得：BD:CD=BF:CE例：如图4, ABC中，AD是BAC的平分线求证：平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛 的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证明题感到困难，尤其 是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。

定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线分析：如图5 (1),在比例式中，AC是BD, DC, AB的第四比以过C点作CE//DA交BARD A DAC延长线于E点，则可得BD, DC, BA的第四比项AE,要证——=——，只要AC=AE就可以了DC ~则 Z1=Z2=Z3 有 AE=DE,也如图5 (2),或过BC上的分点D作DE//BA交AC于E点,可以使问题得到最佳解决，BD _AE _ DE DC~ EC~ EC而ED = AB_ ,所以EC ACBD ABDC AC二、涉及到圆的辅助线可以归纳如下：① 遇有直径，常把圆上的一个点和直径的两个端点连接，构成直角三角形；② 有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接；③ 两圆相切或相交，则可以按以下规律进行：“相切做条公垂线，相交做条共弦；相切 相交连心线，必定过切点，垂直公共弦”一）、作半径1、作半径构造等腰三角形例1如图所示，CD是00的直径，ZE0B=84° ,AE交于点B且AB=OC,求ZA提示：连B0,BO=OEf ZOBE=ZOEBAB=OC=OBf ZA=ZBOA丈:Z0BE=ZA+ZB0A=2ZAZE=Z0BE=2ZAZE0D=ZA+ZAE0=3ZA例2已知：如图2, AB是OO的直径，弦PQ交AB于M,并且PM=MO,图2 求证：AP（弧）=1/3BQ （弧）提示：连PO和PQ,得等腰三角形APMO和等腰三角形APOB。

ZMPO=ZMOP=ZPAOZQOB= ZMQO+Z。