随机变量的数学期望..ppt

概率论与数理统计 第一节 数学期望 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习课堂练习 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数 一、数学期望的概念 即 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为 , 若级数发散 ，则称X的数学期望不存在 定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如 果积分 绝对收敛，则称该积分的值 为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即 如果积分 发散，则称X的数学期 望不存在。

关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. 试问哪个射手技术较好? 思考 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技术比较好. 例4.1 一批产品中有一、二、三等及废品4种，相 应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级 的产值分别为10元、5.8元、4元及0元，求这批产 品的平均产值 解 设一个产品的产值为X元，则X的可能取值 分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为 7%, 13%, 20%, 60%；则它们可以构成概率分布， 由数学期望的定义求得产品的平均产值为 EX = 4×0.13 + 5.8×0.2 + 10×0.6 = 7.68（元）。

到站时时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望. 例4.2 按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者 到站的时间相互独立其规律为： X 10 30 50 70 90 例4.3 若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机 寿命(以小时计) N 的数学期望. 的分布函数为 例4.4 商店的销售策略 解 例4.5 求常见分布的随机变量数学期望 二、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来. 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 . (1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ; (2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若 定理1 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X) (g是连续函数) 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这 给求随机变量函数的期望带来很大方便. 定理2 设g (X,Y) 是随机变量X、Y的函数，且 E[g(X)]存在。

(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概 率密度为f(x,y)，则 (1) 如果X、Y是离散型随机变量，联合概率 分布为pij , i,j=1,2, …，则 解 例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为 由于 例4.7 解 例例8 8 例9 求数学期望E(eX)，若 (1)X~P(3); (2) X~B(n,p); (3) X~N(1,4). 例例1010 例例1010 例11 解 于是 例12 解 因此所求数学期望为 三、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); （诸Xi相互独立时） 请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立 例10 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客 下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每 位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否 下车相互独立) 四、数学期望性质的应用 按题意按题意 本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和, ,然后利用随然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的数学期望的, ,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义 . . 五、课堂练习五、课堂练习 1 某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打 开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把 去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试 开次数的数学期望. 2 2 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为 1 解 设试开次数为X, 于是 E(X) 2 2 解解 Y Y是随机变量是随机变量X X的函数的函数, , P(X=k)=1/n, k=1, 2, …, n 解 从数字0, 1, 2, …, n中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 一般的 3 解 4 某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年, 定 额60元, 按规定10000个户头中, 头等奖一个, 奖金 500元; 二等奖10个, 各奖100元; 三等奖100个, 各 奖10元; 四等奖1000个, 各奖2元. 某人买了五个户 头, 他期望得奖多少元? 解因为任何一个户头获奖都是等可能的, 分布列为 5 买五个户头的期望得奖金额为 解 6 。