斐波那契数列通项公式.doc

斐波那契数列通项公式的推导陈宗权斐波那契数列：斐波那契数列（又译作“斐波拉契数列” ）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明，它是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和它的规则是 F(0) = 0, F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)斐波那契数列通项公式：F（n）= 521n非常有意思的是，这个非负整数的数列的通项公式居然是用无理数 来表示的它是怎5么推导出来的呢？这里给出两种推导（证明）方法直接推导：由通项公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)可以得到特征方程X2=X+1解得X1 = ， X2 = 551所以 F(n)可以表示成F(n) = a +b ……………………（1）n2n2由 F(0) = 0 和 F(1) = 1 得如下两个方程：a + b = 0a + b = 125125解得a = , b = 51带入（1）式可得F（n）= 521n数学归纳法：当 n=0 时，F（0）= = 0，通项公式成立。

5210当 n=1 时，F（1）= = = 1，通项公式成立5假设通项公式 F（n）= 215n当 n=k 时 F（k）= 成立，521kk而且当 n=k+1 时 F（k+1 ）= 成立，1251kk则F（k+2）＝ F(k+1) + F(k)＝ ＋ 51212kk 521kk＝ － 51212kk21521kk＝ －51212kk 51251215kk＝11kk＝ 522kk通项公式也成立由此可以证明，对任意 的整数，通项公式0nF（n）= 521都成立。