随机过程--鞅.pdf

第十章 随机过程第十章 随机过程 II：鞅：鞅 1 第十章 随机过程第十章 随机过程 II：鞅：鞅 基础微积分 线性代数 概率论和数理统计 随机微积分 鞅 偏微分方程 数值方法 10．．1概述概述 10．1．1离散时间 10．1．2连续时间 10．1．3鞅的例子 10．1．4鞅的子类 10．．2停时和鞅型序列停时和鞅型序列 10．2．1停时定义 10．2．2最优停止定理 10．2．3鞅型序列 10．．3多布-迈耶分解多布-迈耶分解 10．3．1多布分解定理 10．3．2多布-迈耶定理 10．3．3二次变差过程 10．．4再论随机积分再论随机积分 10．4．1鞅变换和随机积分 10．4．2简单过程随机积分 10．4．3再论伊藤积分 10．．5测度变换测度变换 10．5．1直观理解 10．5．2拉登-尼科迪姆导数 10．5．3哥萨诺夫定理 10．5．4鞅表示定理 本章的学习目标为： ? 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式 ? 明确鞅的定义和连续时间情形下的一些技术性条件 ? 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅的定义和轨道特征 ? 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅 ? 了解停时概念和最优停止定理 ? 了解由停止一个鞅产生的其它鞅型随机过程 ? 了解二次变差和协变差过程，多布-迈耶分解 ? 复习伊藤积分的定义和主要性质 ? 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质 ? 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理并熟练应用该定理进行测度变换 ? 掌握鞅表示定理并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型 中的作用 鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概 率学家列维(Levy，1934） 。

但是真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他 于 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅论的系 统研究成果它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而 且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展 鞅在 20 世纪 70 年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程， 最早出现在 Pliska&Kreps 相对于上一章随机微积分而言，由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人 惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅； 第十章 随机过程第十章 随机过程 II：鞅：鞅 2 并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工 作又是至关重要的 在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学 期望等概念来严格地给出鞅的定义然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念 介绍一些常见的鞅的例子在讨论了鞅的两个重要子类之后， 接下来我们考察多布-迈耶分解(Doob-Meyer decomposition)， 停时(stopping time) 接下来讨论对于现代金融分析至关重要的——等鞅测度变换(equivalent martingale transformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanov theorem)。

只有熟练 掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真正领略到现代金融理论的精髓 10．．1概述概述 “鞅”一词来源于法文 martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指 一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)但这都没有说明它在 金融学中的确切含义鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game）的数 学模型那么什么又是公平的赌博呢？假设一个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备 参加第n+1 次赌博如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用 n X表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有 11) |( −− = nnn XXXE 成立，即赌博的期望收获为 0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统 计上是公平的1 在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以 把X设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而 n EX就是对这种价格运 动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相 关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在 20 世纪 80 年代以后迅速成 为主流金融经济学研究中标准的时髦。

10．1．1离散时间 简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称 之为上鞅(supermartingale)实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说 是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程 我们循序渐进地分成 4 个步骤来正式定义鞅： 1)首先，描述概率空间存在一概率空间},,{PFΩ，要求σ-代数F是 P-完备的，即对 于任何F∈A且0)(=AP，对一切AN ⊂都有F∈N成立2接下来， 2)描述滤波(filtration)设想我们在一些时点上观察一种股票的价格 + ∈Znn S )( 3随时间的波 动情况令 + ∈Znn) (F代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间 的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富当onmZnSSE nnnn ,)|( 1 F，则称随机过程 + ∈Znn S )(为下鞅； 2“) ++ ∈= → ),,(),(limωω b)存在左极限： tssXtX ts t，都有： I tu ut =FF 成立，其中I tu u F表示对于tu时的所有 u F中最大的σ-域，这个条件说明滤波包含了 σ-域的所有不可数集合。

接下来我们深入考察随机过程的联合可测性（joint measurability）问题假定], 0[T是 R中的某个区间，), 0(TB是], 0[T中全体 Borel 集构成的σ-代数；用)], 0[(TB[[[F ⊗表示乘积 σ-代数12给定任意随机过程 ], 0[ )( Ttt S ∈ ，R→×Ω], 0[:TS，如果： 1） ], 0[ )( Ttt S ∈ 在乘积σ-域)], 0[(TB[[[F ⊗上是可测的，就称它为可测的 2） ], 0[ )( Ttt S ∈ 是 t F可测的就称 ], 0[ )( Ttt S ∈ 为 ), 0[ }{ ∞∈ = tt FF适应的 3） ], 0[ )( Ttt S ∈ 对于任何], 0[Tt ∈，是在乘积σ-域]), 0([t t B[[[F ⊗上是可测的，就称之为循 序可测的(progressively measurable)13 容易知道任何循序可测随机过程均是可测过程，并适应于F一个可测、适应过程有 一个循序可测的修正14我们定义使得所有适应于F的随机过程路径为循序可测的最小σ- 域为循序σ-域PM(progressiveσ-field)。

实际上每个有着左（右）连续样本路径的适应过程都是循序可测的，由此我们还可以 有以下子σ-域和相应的随机过程 4）可选σ-域Op(optional σ-field)——使得所有适应于F的右连续路径为可测的最小σ -域，如果一个过程是Op可测的就被称为可选过程 5）可料σ-域Pr(predictableσ-field)——是使得所有适应于F的左连续路径为可测的最 小σ-域，如果一个过程是Pr可测的就被称为可料过程实际上就是指在t时刻的值是严格 依赖于t时刻以前的信息的 因为： 连续适应过程⇒RCLL 过程⇒循序可测过程⇒可测过程 因此可料过程和可选过程必然是循序可测过程，所以上面的σ-域之间有以下嵌套关系： ], 0[TBFPMOpPr⊗⊂⊂⊂**nielsen17 543 定义定义 10．．1．．3 假定 ), 0[ )( ∞∈tt S是滤波空间{}F,,,PFΩ上的一个适应过程，如果： 1)), 0[,)(∞∈∞∀ 则称 t S为连续时间鞅或者简称鞅 可以证明如果滤波满足常规条件，每一个上(下)鞅都存在一个 t F适应的右连左极的修 12 一个 ], 0[T×Ω可测的长方形是一个BA×集合，F∈A，)], 0[(TBB[[[∈。

乘积σ-域)], 0[(TB[[[F ⊗ 是包含所有可测长方形和概率测度×P勒贝格测度λ-0 集的最小σ-域 13 这个重要术语最早来自 Chung&Doob(1965) 14 证明见 Meyer（1966） ，p68 第十章 随机过程第十章 随机过程 II：鞅：鞅 9 正15因此当我们谈到连续时间鞅的时候，指的均是它们的 RCLL 版本16 10．1．3鞅的例子 离散鞅的例子是很普遍的，以下是微观金融分析中经常会见到的两个例子 仍然启用我们在上一章中用来模拟股票价格路径的二项树模型现在假定n时刻的股 票价格为 n S，而在1+n时刻，股票价格将以： )/()1 (dudp−−= 的概率上涨到 n uS；或者以p−1的概率下降到 n dS，即： 10．1．5        − − − − = + du u dS du d uS S n n n 1 1 1 概率为 概率为 ，ud ,)( 显然这是一个下鞅类似的，股票通常会有一个正的预期收益，也就是说： NnSSE nnN pLp-有界的，则它必定是一致可积的。

我们加上一致可 第十章 随机过程第十章 随机过程 II：鞅：鞅 13 积性的要求目的是控制鞅的尾部行为（tail behavior） ，它将保证上述的两个收敛结果成立 实际上如果M是一个一致可积鞅，则19： 1）在 1 L中 ∞ → MMn 2）存在 1 LM∈ ∞ 使得 nn MME= ∞ )|(F 这时我们也称M被 ∞ M封闭了（closed） [kopp105] 现在我们前往最终目标——平方可积鞅如果一个鞅具有有限的二阶矩，即 ∞         − ≤pXE p p XE p p p t 10．．2停时和鞅型序列停时和鞅型序列 在本节中我们要引入停时(stopping time)概念22，这个概念在随机过程理论研究中非常重 要，它提供了“驯服时间这一连续统” （tame the continuum of time）的有效工具（Chung， 1982） ，而且停时的引入将把鞅的性质拓展到其它鞅型序列上去23 10．2．1停时定义 那么什么是停时呢？记住t是时间， t F代表积累到t时刻的信息。

停时可以理解为某一 随机事件第一次发生的时刻不妨假想我们对某些特定现象的发生感兴趣：例如某个“黑 色星期五”的出现，我们对这些特定现象第一次出现的时刻)(ωT给予特别的注视很明 显事件})(,{t≤ωωT的发生，当且仅当这一现象出现在t时刻上或者t时刻之前应当是积 累到那个时刻的信息集的一部分 例如一个赌徒决定在他赌赢 100 次后就收手，那么他停止赌博的时刻就是一个随机变 量n=T，就是说当他赌到n次时，他才赢足 100 次， n F是他赌到第n次的所能掌握的全 部信息故T是否等于n是依赖他赌到第 n 次才能知道的从这里体会它似乎有点“你到 那就知道了”那种无奈的意味 正式的，停时是一个。