《普通物理学教程（第二版》课件：2-6 外力场中自由粒子的分布·玻尔兹曼分布.ppt

§2.6 外力场中自由粒子的分布外力场中自由粒子的分布·玻尔玻尔耳耳兹曼分布兹曼分布 •按按照照分分子子混混沌沌性性假假设设，，处处于于平平衡衡态态的的气气体体其其分分子子数数密密度度n n 处处处处相相等等，，但但这这仅仅在在无无外外力力场场条条件件下才成立下才成立•若分子受到重力场、惯性力场等作用，气体分若分子受到重力场、惯性力场等作用，气体分子数密度将有一定的空间分布，这类分布均可子数密度将有一定的空间分布，这类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例看作玻尔兹曼分布的某种特例 §2.6.1 等温大气压强公式等温大气压强公式*悬浮微粒按高度分布悬浮微粒按高度分布 因因为为大大气气中中存存在在十十分分复复杂杂的的流流动动，，因因而而大大气气的的温度和压强变化十分复杂温度和压强变化十分复杂 （一）等温大气压强公式（一）等温大气压强公式 现现假假设设大大气气是是等等温温的的且且处处于于平平衡衡态态，，则则大大气气温度随高度变化是怎样的？温度随高度变化是怎样的？ • • 现考虑在大气中垂直高度现考虑在大气中垂直高度为为z z到到 z z + + d dz z，，面积为面积为 A A 的一薄层气体的一薄层气体• d dp p = -= - ( (z z) )g g d dz z•由由  （（z z））= = n n（（z z））m m •和和 p p（（z z））= = n n（（z z））kTkT可以得到可以得到 d dp p（（z z））/ /p p（（z z））= -= -（（mg mg / /kTkT））d dz z该系统达到平衡的条件为该系统达到平衡的条件为对对 d dp p（（z z）） / /p p（（z z）） =-=-（（mgmg/ /kTkT）） d dz z积分，则有积分，则有 •把把它它改改写写为为气气体体分分子子数数密密度度随随高高度度分分布布公公式式，，则则 设设大大气气温温度度处处处处相相等等，，重重力力加加速速度度 g g 不不随随高高度变。

度变( (二二) )等温大气标高等温大气标高•中的中的 RT RT / / M Mm g g 具有高度的量纲具有高度的量纲•定义大气标高定义大气标高 H H 因指数上量纲为因指数上量纲为 1 1，故，故大气标高的物理意义为：大气标高的物理意义为：•（（1 1））在在高高度度 z z = = H H 处处的的大大气气压压强强为为 z z = 0 = 0 处大气压强的处大气压强的 1/ 1/e e•（（2 2））设设把把整整个个大大气气分分子子都都压压缩缩为为环环绕绕地地球球表表面面的的、、其其密密度度与与海海平平面面处处大大气气密密度度相相等等的的一一层层假假想想的的均均匀匀大大气气层层，，则则这这一一层层大大气气的厚度也是的厚度也是 H H。

.•（（3 3））大大气气标标高高是是粒粒子子按按高高度度分分布布的的特特征征量量，，它它反反映映了了气气体体分分子子热热运运动动与与分分子子受重力场作用这一对矛盾受重力场作用这一对矛盾 这这一一矛矛盾盾的的相相互互协协调调形形成成稳稳定定的的大大气气压压强分布 可可以以想想像像，，一一旦旦热热运运动动停停止止，，大大气气中中所所有分子都会像砂粒一样落到地面有分子都会像砂粒一样落到地面*§2.6.2 旋转体中悬浮粒子径向分布旋转体中悬浮粒子径向分布 超超速离心技术速离心技术 台风、飓风、龙卷风台风、飓风、龙卷风 在在如如图图的的实实验验装装置置中中，，发发现现竖竖直直管管中中水水面面上上升升 h h 高度。

高度以以以以 水水水水 平平平平 管管管管 中中中中距距距距 旋旋旋旋 转转转转 中中中中 心心心心轴轴轴轴 r r r r 到到到到r r r r + + + + d d d dr r r r 气气气气体体体体作作作作为为为为研究对象研究对象研究对象研究对象现分析它的受力情况，惯性离心力方现分析它的受力情况，惯性离心力方向沿径向向外向沿径向向外. . 设其中气体的密度为设其中气体的密度为  ( (r r) ) ，，而管的横而管的横截面积截面积 A.A.在整个管中处处均匀在整个管中处处均匀这段这段气体的质量为气体的质量为 达到平衡时应有达到平衡时应有 积分后可得积分后可得(二二)超速离心技术与同位素分离超速离心技术与同位素分离 • 该该式式可可用用于于分分离离大大分分子子、、病病毒毒、、DNA DNA 及及其它微粒，也可用于测量微粒的质量其它微粒，也可用于测量微粒的质量。

• 超超速速离离心心机机转转速速可可在在 2525r/s r/s 到到数数万万r/sr/s之之间间改改变变，，从从而而使使悬悬浮浮在在液液体体中中的的微微粒粒或或大分子所受到的惯性离心力可远大于重力大分子所受到的惯性离心力可远大于重力•. . •例例如如，，若若旋旋转转半半径径为为 6 6 cmcm，，转转速速为为 10103 3r/sr/s，，则则惯惯性性离离心心力力加加速速度度可可达达 6000 6000 g g •在在十十分分大大的的惯惯性性离离心心力力作作用用下下，，不不同同质质量量粒粒子子组组成成的的混混合合物物将将在在径径向向被被很很明明显显地地分分离开•正正因因为为在在超超速速离离心心力力作作用用下下分分离离效效果果较较明明显显，，因因而而这这种种方方法法也也被被广广泛泛地地应应用用于于同同位位素素分分离离，，获获得得浓浓缩缩铀铀, , 它它已已经经替替代代泻泻流流法法分离同位素分离同位素（三）台风、飓风、龙卷风（三）台风、飓风、龙卷风 • 台台风风（（热热带带风风暴暴））是是指指：：在在处处于于热热带带的的北北太太平平洋洋西西部部洋洋面面上上局局部部积积聚聚的的湿湿热热空空气气大大规规模模上上升升至至高高空空过过程程中中，，周周围围低低层层空空气气乘乘势势向向中中心心流流动动，，在在此此过过程程中中将将出出现现沿沿地地球径向运动的速度分量。

球径向运动的速度分量•在在科科里里奥奥利利力力的的作作用用下下形形成成空空气气旋旋涡涡，，这这就称为台风或热带风暴就称为台风或热带风暴• •气气流流旋旋转转使使台台风风中中心心（（称称为为台台风风眼眼））气气压压很很低低，，低低气气压压使使云云层层裂裂开开变变薄薄，，有时可见到日月星光有时可见到日月星光•惯惯性性离离心心力力将将云云层层推推向向四四周周，，形形成成高高耸耸的的壁壁，，狂狂风风、、暴暴雨雨均均发发生生在在台台风风眼眼之之外外台台风风的的直直径径一一般般为为几几百百公公里里，，最大可达最大可达 1000 1000 kmkm• 在在东东太太平平洋洋和和大大西西洋洋形形成成的的““热热带带风风暴暴””被称为飓风被称为飓风• 龙卷风也是一种猛烈的气旋龙卷风也是一种猛烈的气旋但龙卷风直径但龙卷风直径仅几米到几百米，它生消迅速由于气流的仅几米到几百米，它生消迅速由于气流的旋转性很强，中心气压很低，常将地面的水、旋转性很强，中心气压很低，常将地面的水、尘土、泥沙夹卷而上，可拔树、掀屋面，故尘土、泥沙夹卷而上，可拔树、掀屋面，故破坏力强破坏力强.•这是飞机在龙卷风中心附近飞行的照片这是飞机在龙卷风中心附近飞行的照片§2.6.3 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布•（（1 1））回回转转气气体体中中粒粒子子数数密密度度沿沿径径向向的的分分布布 (2)(2)等温大气重力场中分布公式等温大气重力场中分布公式(1)(1)式与式与(2)(2)式十分类同式十分类同, ,所不同的仅是将所不同的仅是将 - -mvmv2 2r r2 2/2/2kT kT 代替了重力势能代替了重力势能 mgzmgz。

•注意到回转体在作宏观运动前面已指出，注意到回转体在作宏观运动前面已指出，• 力学注意物体的外部表现（机械运动），而力学注意物体的外部表现（机械运动），而热学注意其内部运动（热运动）热学注意其内部运动（热运动）•故热学不考虑整体的宏观运动，若有宏观运动，故热学不考虑整体的宏观运动，若有宏观运动，其坐标系应取在运动系统上其坐标系应取在运动系统上 . .•注意到注意到 m m 2 2r r 就是坐标系取在回转体上的惯性就是坐标系取在回转体上的惯性离心力，它是一种保守力，离心力，它是一种保守力，•而保守力所作负功等于势能的增加而保守力所作负功等于势能的增加•设在设在r r = 0= 0处的势能为处的势能为 E Ep p（（0 0））= 0= 0，，则在则在•r = r r = r 处的势能处的势能• 其指数上是粒子动能与其指数上是粒子动能与 kT kT 比的负值比的负值• 这这三三种种分分布布都都是是按按粒粒子子能能量量εε的的分分布布，，它它们们都都有一个称为有一个称为““玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子””的因子的因子 指指数数上上是是粒粒子子的的惯惯性性离离心心力力势势能能与与 kTkT之之比比的的负值负值•接下来看麦克斯韦速度分布接下来看麦克斯韦速度分布 这这两两种种不不同同状状态态可可分分别别为为：：在在重重力力势势能能的的两两种种不不同状态；在分子动能的两种不同状态；同状态；在分子动能的两种不同状态；在粒子惯性离心力势能的两种不同状态上。

在粒子惯性离心力势能的两种不同状态上•从这三种分布，可归纳出这样的规律从这三种分布，可归纳出这样的规律: :•这些分布中都有玻耳兹曼因子这些分布中都有玻耳兹曼因子•如如果果在在温温度度为为T T 的的系系统统中中，，处处于于粒粒子子能能量量为为  1 1 的的某某一一状状态态的的粒粒子子数数密密度度为为 n n1 1 , ,处处于于粒粒子子能能量量为为  2 2 的的另另一一状状态态上上的的粒粒子子数数密密度度为为n n2 2 则有如下关系则有如下关系: :• 具具有有玻玻耳耳兹兹曼曼因因子子的的分分布布，，称称为为玻玻尔尔兹兹曼分布• 玻尔兹曼分布可表示为玻尔兹曼分布可表示为: :因为同一能量一般可有多个不同粒子状因为同一能量一般可有多个不同粒子状态态•例如，那些处于速度空间中以原点为中心、例如，那些处于速度空间中以原点为中心、•v v为为半半径径的的球球面面上上的的理理想想气气体体分分子子，，它它们们的的能能量量均均相同，但速度方向不同，单粒子态也各不相同相同，但速度方向不同，单粒子态也各不相同•玻玻耳耳兹兹曼曼分分布布表表示示：：粒粒子子处处于于能能量量相相同同状状态态上上单单（（个个））粒粒子子（（的的状状））态态的的概概率率是是相相同同的的；；粒粒子子处处于于能能量量不不同同状状态态上上的的单单粒粒子子态态的的概概率率是是不不同同的的，，粒子处于能量高状态上的单粒子态概率反而小粒子处于能量高状态上的单粒子态概率反而小. .•玻玻耳耳兹兹曼曼分分布布是是玻玻耳耳兹兹曼曼于于18681868年年在在推推广广麦麦克克斯斯韦速度分布时建立的平衡态能量分布律韦速度分布时建立的平衡态能量分布律. . 玻耳兹曼分布是一种普遍的规律。

玻耳兹曼分布是一种普遍的规律对于处于平衡态的气体中的原子、分子、对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻尔兹曼分布，子，一般都可应用玻尔兹曼分布，只要粒子之间相互作用很小而可忽略只要粒子之间相互作用很小而可忽略. .由玻耳兹曼分布表示温度由玻耳兹曼分布表示温度 • 它表示处于平衡态的系统，在（无相互作用）它表示处于平衡态的系统，在（无相互作用）粒子的两个不同能量的粒子的两个不同能量的单粒子态上单粒子态上的粒子数的粒子数的比值与粒子的能量之差之间的比值有确定的比值与粒子的能量之差之间的比值有确定的关系•我们可利用这一关系来确定系统的温度我们可利用这一关系来确定系统的温度应该强调应该强调: :玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式温度的另一表达式•对对于于粒粒子子只只能能取取两两个个能能级级的的系系统统，，设设在在这这两两能能级级上上的的粒粒子子数数密密度度分分别别为为n n1 1 及及 n n2 2 ，，若若在在 1 1 > >  2 2情情况况下下有有 n n1 1 ＜＜ n n2 2 关关系系，，则则 T T ＞＞0.0.•第第一一章章中中己己讲讲到到关关于于温温度度的的另另一一微微观观定定义，义，说明温度是微观粒子热运动平均能量大说明温度是微观粒子热运动平均能量大小的度量。

小的度量负温度负温度• 但但若若在在 1 1 > >  2 2 情情况况下下，，n n1 1 ＞＞n n 2 2（（这这称称为为粒粒子子数数反反转转）），，这这时时 T T ＜＜ 0 0，，我我们们就就称称该该粒粒子子系系统统处于负温度状态处于负温度状态• 负负温温度度仅仅存存在在于于由由两两个个能能级级所所单单独独组组成成的的子子系中；且仅出现在短暂的时间中系中；且仅出现在短暂的时间中• 产生激光的系统，就处于粒子数反转的负温度产生激光的系统，就处于粒子数反转的负温度状态• 正温度正温度 无穷大温度无穷大温度 负温度负温度两能级系统的负温度两能级系统的负温度•从这里可以看到，当温度上升时，系统吸热，从这里可以看到，当温度上升时，系统吸热，低低能级上的粒子跃迁到高能级能级上的粒子跃迁到高能级.•当当高高能级上的粒子数等于能级上的粒子数等于低低能级上的粒子数能级上的粒子数时，温度为时，温度为无穷大•如果低如果低能级上的粒子继续跃迁到高能级，出能级上的粒子继续跃迁到高能级，出现粒子数的反转这就是现粒子数的反转。

这就是负温度•负温度的温度比负温度的温度比无穷大温度还要高无穷大温度还要高正温度正温度 无穷大温度无穷大温度 负温度负温度•下面就以两能级系统为例来说明负温度是怎样下面就以两能级系统为例来说明负温度是怎样的。