微分的概念性质及应用.doc

第 二 章 第 6 节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学容：1. 微分的定义图2-1计算函数增量是我们非常关心的一般说来函数的增量的计算是比拟复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到〔图2-1〕，问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即从上式可以看出，分成两局部，第一局部是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二局部在图中是带有穿插斜线的小正方形的面积，当时，第二局部是比高阶的无穷小，即由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一局部来代替一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差，是比高阶的无穷小所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替定义 设函数在*区间有定义，及*在这区间，如果函数的增量可表示为 ， ①其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，则称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 。

定理1 函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是 设函数在点可微，则按定义有①式成立①式两边除以，得 于是，当时，由上式就得到因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导〔即存在〕，且反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中〔当〕由此又有因，且不依赖于，故上式相当于①式，所以在点也是可微的由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是 ②例1 设，求 解：微分在近似计算中的应用：在的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差当时趋于零因此，在很小时，有准确度较好的近似等式即或特别地，当很小时，有 〔3〕〔3〕式是计算零点附近的函数值当很小时，有以下近似计算公式：例 证明：〔当很小时〕 令 因为 由 故，当很小时，例2 一个充好气的气体，m，升空后，因外面气压降低，气球半径增大了10cm，求体积增加了多少？解：因为 所以例3 求的近似值．解 设,取 ，则 所以 或者：2. 微分的几何意义为了对微分有比拟直观的了解，我们来说明微分的几何意义。

图2-2在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线对于*一固定的值，曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.从图2-2可知：，过M点作曲线的切线,它的倾角为，则，即 由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量当很小时，比小得多因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段3. 微分运算法则及微分公式表由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表〔当都可导〕：，，，微分公式表：，，，，，，，，，，，，，，注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背例如：，，，4. 复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设及都可导，则复合函数的微分为由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成或由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示，当变换自变量时〔即设为另一变量的任一可微函数时〕，微分形式并不改变例4 求的微分解 自我训练：〔1〕，求〔2〕，求〔3〕有一半径为的铁球，镀上0.01cm厚的银，问大约用多少体积的银。

小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好根底z.。