高职高专高等数学第一章教案.doc

1第一章 函数、极限、连续教学要求1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念2.理解数列极限、函数极限的定义3.掌握极限的四则运算法则4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系理解无穷小的性质5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则熟练掌握两个重要极限求极限6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质教学重点函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性教学难点函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断教学内容第一节 函数一、函数的定义与性质1.集合；2.邻域；3.常量与变量；4.函数的定义；5.函数的特性二、初等函数1.反函数；2.复合函数；3.初等函数三、分段函数一、 函数的定义与性质1 集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素 a 属于集 合 A，记作 , 元素 a 不属于集合 A, ,aA2 集合的表示法：列举法 12{,}na描述法 Mx所 具 有 的 特 征3 集合间的关系:若 则必 就说 是 的子集,记做 ；若 且 ,A,BAABAB,；若 且 ，则 。

则 称 是 的 真 子 集 24 常见的数集N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集它们间关系: ,,.NZQR5 例， ，则{1,2}A230}CxAC不含任何元素的集合称为空集, 记作 例如, 2,xR规定 空集为任何集合的子集.6 运算 设 A、B 是两集合, 则1) 并 AB  {xxA 或 xB};2) 交 AB {xxA 且 xB}3) 差“A\B” {xxA 且 xB}4) 补（余）S/A,其中 S 为全集5) 其运算律(1) A B= BA, AB =BA(2)（AB )C =A(B C) , (A B)= A(B C)(3)（AB )  C =(A C )(B  C)（A  B )  C =(A  C )  (B C)(4) (,(c ccB注意 A 与 B 的直积 AB {(x,y)xA 且 yB}例如：R R={(x,y)xR 且 yR}表示 xoy 面上全体点的集合, 常记为R27 邻域: 设 与 是两个实数且 ，称集合 为点 的 邻域。

点a0{}xaa叫做这邻域的中心， 叫做这邻域的半径记作 ()Uxxaa a点 的去心 邻域记做 ， 0()Ua0(){}x注意：邻域总是开集8 常量与变量:在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量,注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.1） 常量与变量的表示方法：3用字母 x, y, t 等表示变量，通常用字母 a, b, c 等表示常量9 函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的非空数集如果对于每个给定的数 ，变量 yxD按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y=f(x).x 叫做自变量，y 叫做因变量数集 D 叫做这个函数的定义域，数集 叫做函数的值域fR(){|(),}yfxD注意：1）当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数如 和 就不是同一个函数2()lgfx()lgfx2）求定义域的方法：应用题由实际意义确定；形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值如 2 21()1,[,];(),(,1)fxDfxD如果在 D 中任取一个 x 对应的函数值都只有一个,这种函数称单值函数，否则称多值函数。

例如， 为单值函数. 为多值函数2yyx凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数10 函数的特性1）有界性:若 在 上有定义， ， 有 成立则称函数 在 上有界，()fxI0MxI()fM()fxI否则称无界M-Myxoy=f(x)I有界 无界M-Myxo I0x2）单调性设函数 在区间 上有定义，如果对于区间 上任意两点 ，恒有()fxII12x12f4则称函数 在区间 上是单调增加的；恒有 则称函数 在区间()fxI 12()fxf()fx上I是单调减少的 ()yfx1f2()fxyo I3）奇偶性设 D 关于原点对称，对于 ，有 ，称 为偶函数D()ffx()f偶函数yx()fx)fxo x-x()f设 D 关于原点对称，对于 ，有 ，称 为奇函数D()(ff()fx奇函数()fxy x()fo x-x yx4）周期性设函数 的定义域为 D ，如果存在一个不为 0 的常数 ，对任意的 均有()fx()fxTxD则称 为周期函数， 为 的周期 （通常说周期函数的周期是FTT()fx5指其最小正周期）二、初等函数通常把常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数六种函数称为基本初等函数．由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．初等函数以外的函数，称为非初等函数，最常见的是分段函数．（1） 初等函数的几个特例设 和 都是初等函数，则)(xfg① 绝对值函数　 ：是初等函数，因为 ．|()|yfx= 2,[()]yufx=② 最大值函数　 ：是初等函数．因为ma{(),}Mfgx．1()x, [()|()|]2fffxg=+-③ 最小值函数　 ：是初等函数．因为in{(),}xg（1） ．1()min{(), }[|()|]2xfxgffxg=-④ 幂指函数　 　 ：是初等函数，因为()] 0, 1)gxy=>º/．()()ln[]gxxffe（2）非初等函数的几个特例① 符号函数　 ．显然 ．1,0sgn: ,xyxì>ï==íï-<î |sgnx=② 取整函数　 ：表示“小于或等于 x 的最大整数 ”，即[]3.1,3.8],[3],[3.2]4.yyyy-取小数函数　 ：表示“ 的非负小数部分” ，即()[x=-．(.)0,.0.,()0,(.)0.8=-=显然，对于任意 ，有RÎ．[]1xx<+£③ 狄利克雷（Dirichlet）函数：．, ()0Dxìï=íî为 有 理 数为 无 理 数④ 黎曼（Riemann）函数（定义在 ）：]1[， 两者的图象无法画出6．1, (, , )()01ppxqRxìï=íïî当 为 正 整 数 为 既 约 分 数当 无 理 数高等数学主要的研究对象是初等函数．1. 初等函数、复合函数的关系与分解（1） 初等函数与复合函数的关系复合函数与初等函数是并列的概念．是复合函数，可以是初等函数，也可以不是初等函数；是初等函数，可以是复合函数，也可以不是复合函数．一个函数，可属于多种函数分类．（2） 函数的分解函数的分解形式依分解要求不同而不同．一般地，高等数学中要求掌握两类函数的分解．① 复合函数的分解：把一个复合函数（一层或多层）分拆成几个函数，称为复合函数的分解．② 初等函数的分解：把一个初等函数分拆成几个函数，称为初等函数的分解．或 ysin u，u  ，t x3，v sin w，w  ，l x2，s sin x． （许康 P61）【注意问题】① 对于由两个函数构成的函数，可以讨论它是否为复合函数．对一个复杂函数笼统地问是否复合函数是没有意义的，应具体地问这个复杂函数的哪一层是否复合关系．复合关系只是针对所论层的内函数与外函数两个函数之间的相互关系，而不涉及该层以外的函数是否复合函数．如函数 y 可化为x+yf(u) ， ug(x)x ，按复合函数的定义，f (u)和 ug(x)可以复合成复合函数；但ux +中既有四则运算，又有复合运算，是初等函数，而无法说它是不是复合函数．② 又如问 y2x 是否复合函数，因为复合函数是两个函数间的复合，如果不指明问是否某两个函数的复合函数，如何回答呢？要是指明问 y2x 是否由 yu和 u2x 复合而成的复合函数，则可以回答是两者的复合函数（当然这种复合无实际意义．对于简单函数不再讨论其复合性） ．2. 三角函数（1） 基本三角函数关系① 对角线两端二函数的乘积为 1（倒数关系） ．② 周界上任一函数等于它相邻两函数的乘积．③ 阴影三角形中两上顶角函数的平方和等于下角函数的平方．（2） 任意三角函数的诱导公式（可记为：奇变偶不变，正负看象限． ）7sin(90˚α)cosα， 　 sin(180˚α)sinα， sin(270˚α)cosαsin(90˚α)cosα， 　 sin(180˚α)sinα， sin(270˚α)cosα（3） 两角和的三角函数sin(x±y)sinxcosy±cosxsiny， 　 　 　 cos(x±y)cosxcosy∓sinxsinytan(x±y) ， 　 cot(x±y)tat1 cot1t（4） 倍角的三角函数sin2x2sinxcosx， 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 cos2xcos2xsin2x12sin2x2cos2x1tan2x ， 　 　　 　　　 cot2xta-2cot1-（5） 三角函数的和、差化积公式sin xsin y2sin cos ， 　　　sin xsin y2cos sin()2xy+()- ()2xy+()2y-cos xcos y2cos cos ，　　　cos xcos y2sin sin()2xy()- ()2xy()2y-tan x±tan y ，　　 　 cot x± cot y±sin()coxy sin()xysin x±cos x sin(x± )± cos(x∓ )24π24π（6） 三角函数的积化和、差公式2sin x·cos ysin(xy)sin(xy)，　　　　2cos x·sin ysin(xy)sin(xy)2cos x·cos ycos(xy)cos(xy)， 2sin x·sin ycos(xy)cos(xy)（7） 反三角函数的运算公式arcsin()arcsin,ros(arcos,[1,];ttct)t()i,(,[1,];t(r)tr()acsin,[,2πxxπ-=-=Î-¥Î-¥=Î-];arctn,(,);2ro()0o()0.πxx =Î-记忆方法:正奇偶奇相加；正偶奇奇相减；正偶偶偶相加；负奇奇偶相减．。