工程试验设计-回归正交试验设计.doc

第一节 一次回归正交设计一 正交设计和回归设计的特点1 正交设计的特点正交设计是一种很实用的试验设计方法，它利用较少的试验次数获得较好的试验结果；但是通过正交设计得到的优方案只是局限在确定的水平组合中，而不是一定试验范围内的最优方案2 回归设计回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确定的回归方程，可对试验结果进行预测和控制；但是，它只能对试验数据进行被动的分析和处理，不涉及对试验设计的要求如果把两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这就是回归正交设计方法二 一次回归正交设计基本方法一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标y与m个因素x1、x2、…、xm之间的一次回归方程：（k=1，2，…，m）如果不考虑交互作用，则一次回归方程为一次回归正交设计的基本步骤如下：1 确定因素的变化范围根据指标y，确定需要考察的m个因素xj（j=1，2，…，m），并确定每个因素的取值范围设：xj的变化范围为[xj1，xj2]，分别称xj1和xj2为因素xj的下水平和上水平，并将其算术平均值称为零水平，即上水平与零水平之差或零水平与下水平之差称为xj的变化间距，即例如，某试验中温度的变化范围为30-90℃，则其上水平为xj2=90℃，xj1=30℃，零水平xj0=60℃，变化间距△j=30℃。

2 因素水平的编码编码（coding）就是将xj的各水平进行线性变换，即式中，zj——xj的编码显然，xj1、xj0、xj2的编码分别为-1、0、+1，即zj1=-1，zj0=0，zj2=+1一般，xj称为自变量，zj称为规范变量因素水平的编码见表8-1表8-1 因素水平编码表规范变量zj自然变量xjx1x2…xm下水平（-1）零水平（0）上水平（+1）变化区间△jx11x10x12△1x21x20x22△2xm1xm0xm2△m对因素水平进行编码的目的，是为了使每个因素的每个水平在编码空间是“平等”的，即规范变量zj的取值范围在[-1，+1]内变化，不会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响所以编码能将试验结果y与因素xj各水平之间的回归问题，转换为试验结果y与因素zj之间的回归问题，从而简化了回归计算量3 一次回归正交设计编码表将二水平正交表中的“2”用“-1”代换，就可得到一次回归正交设计编码表例如，L8(27)经过变换后得到的回归正交设计表如表8-2所示代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示因素水平数值上的大小从表8-2可看出回归正交设计表具有如下特点：（1）任意一列编码的和为零，即（2）任意两列编码的乘积之和为零，即这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性。

表8-2 一次回归正交设计编码表试验号列号1234567123456781111-1-1-1-111-1-111-1-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-11-1-11-111-1-111-1-111-1-11-111-14 试验方案的确定在确定试验方案时，也要将规范变量zj安排在一次回归正交编码表相应的列中，即进行表头设计例如，考察因素x1、x2和x3，可选用L8(27)，根据L8(27)的表头设计表，应将x1、x2和x3分别安排在第1、2和4列，即将z1、z2和z3安排在表8-2的第1、2和4列上如果要考虑交互作用x1x2和x1x3，也可参考L8(27)的交互作用表，将z1z2和z1z3分别安排在表8-2的第3、5列上表头设计结果见表8-3表8-3 三因素一次回归正交表试验号12345z1z1z1z2z1z1z3123456789101111-1-1-1-10011-1-111-1-10011-1-1-1-111001-11-11-11-1001-11-1-11-1100从表8-3中看出，第3列的编码等于第1列和第2列编码的乘积，即交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积。

表8-3中的第9、10号试验成为零水平试验或中心试验安排零水平试验的目的是为了进行更精确的统计分析，得到精度较高的回归方程三 一次回归方程的建立建立回归方程，关键是确定回归系数设总试验次数为n，其包括mc次二水平试验和m0次零水平试验，即如果试验结果为yi（i=1，2，…，n），根据最小二乘原理和回归正交表的两个特点，可得到一次回归系数的计算公式：式中，zji表示zj列各水平的编码，（zkzj）i表示zkzj列各水平的编码通过计算得到回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准回归系数另外，回归系数的符号反应了因素对试验指标影响的正负四 回归方程及偏回归系数的方差分析1 无零水平试验1.1 计算离差平方和（1）总平方和（2）回归平方和因素的偏回归平方和：交互作用的偏回归平方和：（3）残差平方和1.2 计算自由度（1）总自由度（2）回归自由度因素的自由度：交互作用的自由度（3）残差自由度1.3 计算均方1.4 F检验Fj服从自由度为(dfj，dfe)的F分布，对于给定的显著性水平a，若Fj>Fa(dfj，dfe)，说明因素zj对试验指标有显著影响；否则无显著影响。

Fkj服从自由度为(dfkj，dfe)的F分布，对于给定的显著性水平a，若Fkj>Fa(dfkj，dfe)，说明交互作用zkzj对试验指标有显著影响；否则无显著影响2 有零水平试验如果零水平的试验次数m0≥2，则可进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验2.1 F检验的缺点对回归方程进行显著性检验，只能说明相对于残差平方和而言，各因素对试验结果的影响是否显著即使所建立的回归方程是显著的，也只是反映了回归方程在试验点上与试验结果拟合得较好，不能说明在整个研究范围内的拟合情况，应安排零水平试验，进行回归方程的失拟性检验，或称拟合度检验2.2 失拟性检验方法设m0次零水平试验结果为y01、y02、…、y0m0，根据m0次重复试验，可计算重复试验的误差为试验误差的自由度为则，失拟平方和为或失拟的自由度为所以，有这时，有对于给定的显著性水平a（一般a=0.1），如果FLf≥Fa(dfLf，dfe1)，说明失拟平方和中除误差外，还有其它因素的影响，需要进一步查明；如果FLf

对于给定的显著性水平a，如果F2≥Fa(dfR， dfe)，说明方程检验显著，即方程拟合得好；反之，说明方程拟合得不好，这可能是由于误差过大，或没有什么因素对y有显著影响例题8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度y越大越好试验中，讨论了x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个因素对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2和x1x3已知：x1=300-700℃，x2=1800-2400℃，x3=8-10mA试通过一次回归正交试验确定吸光度与3个因素之间的函数关系式解：（1）确定因素变化范围因为x1=300-700℃，所以其下水平x11=300℃，x12=700℃，则零水平，变化间距同理，可确定其他因素的下水平、上水平、零水平及变化区间2）因素水平编码根据公式，对各因素进行编码，编码结果如表8-5所示表8-5 例8-1因素水平编码表因素xix1x2x3上水平（+1）下水平（-1）零水平（0）变化间距△j70030050020024001800210030010891（3）正交表的选择和试验方案的确定依题意，可以选用正交表L8（27），经编码转换后，得到表8-2所示的回归正交表。

入表8-6所示，将z1、z2、z3分别安排在第1，2和4列，则第3和第5列分别为交互作用z1 z2，z1 z3列不进行零水平试验，故总试验次数n＝8，试验结果也列在表8-6中（注：本例的试验方案和试验结果与例6-5是完全一样的）4）回归方程的建立依题意，m0=0，n＝mc=8根据回归系数的计算公式，将有关计算列在表8-7中表8-6　例8-1　三元一次回归正交设计试验方案及试验结果试验号z1z2z1z2z3z1z3x1/℃x2/℃x3/mAyi1111117002400100.5522111-1-1700240080.55431-1-1117001800100.48041-1-1-1-1700180080.4725-11-11-13002400100.5166-11-1-11300240080.5327-1-111-13001800100.4488-1-11-11300180080.484表8-7　例8-1　三元一次回归正交设计计算表试验号z1z2z1z2z3z1z3yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z3)y1111110.5520.3047040.5520.5520.5520.5520.5522111-1-10.5540.3069160.5540.554-0.5540.554-0.55431-1-1110.4800.2304000.480-0.4800.480-0.4800.48041-1-1-1-10.4720.2227840.472-0.472-0.472-0.472-0.4725-11-11-10.5160.266256-0.5160.5160.516-0.516-0.5166-11-1-110.5320.283024-0.5320.532-0.532-0.5320.5327-1-111-10.4480.200704。