非可加概率和倒向随机微分方程的研究.doc

概率论与数理统计专业优秀论文概率论与数理统计专业优秀论文 非可加概率和倒向随机微分方程非可加概率和倒向随机微分方程的研究的研究关键词：非可加概率关键词：非可加概率 倒向随机微分方程倒向随机微分方程 经典测度理论经典测度理论 集合函数集合函数 随机变量随机变量摘要：非可加集合函数，比如外测度，早在经典测度理论的初期就已出现.经典 测度理论主要研究可数可加集合函数和更一般的有限可加集合函数Choquet 于 1953 年最早的提出了非可加集合函数理论，即他的容度理论这个理论无论 在数学，还是科学技术的其它不同领域都产生了巨大的影响.非可加集合函数应 用广泛，在经济数学，决策理论，和人工智能等不同领域被叫作不同的名字， 比如合作博弈，容度，或者模糊测度.近年来，很多学者深入研究了不同类型的 非可加集合函数，比如上概率，信念函数，二次交替容度，零可加集合函数， 以及其它各种形式的集合函数（见[29]，[31]，[49]，[84]，[88]等）从倒向 随机微分方程引出的 g-概率就是其中之一.Pardoux 和 Peng[69]引入了一类倒 向随机微分方程，并且证明了其解的存在唯一性.自此，倒向随机微分方程不仅 在其自身理论方面得到了迅猛的发展（见[26]，[50]等） ，在金融数学和经济数 学中也成为一强有力的工具（见[58]，[59]等）Peng[71]通过倒向随机微分方 程引进了 g-期望.在生成元 g 和终端值 ξ 满足一定的可积条件下，随机变量 ξ 的 g-期望保持了经典数学期望除线性之外的其它一些基本性质.由 g-期望自 然的可以定义一类非可加概率：g-概率. 本文致力于非可加概率和倒向随机 微分方程的研究.主要结果如下： 1.在上概率和二次交替容度下，分别证明 了两两负相关随机变量序列的大数定律. 2.研究了 g-概率的二次交替性，证 明了 g-概率的切比雪夫不等式，g-概率下的大数定律，介绍了 g-概率下随机变 量的方差，相关性和相关系数的定义及其性质. 3.给出了广义的变分公式， 并且利用倒向随机微分方程的方法证明了一些结论。

本文共包括三章，下面 给出每一章的主要内容. 第一章，我们研究容度下的大数定律.我们考虑了两 两负相关随机变量序列，分别证明了在上概率和二次交替容度下的大数定律.对 于上概率，我们自然的想到利用经典测度理论中的已有结果，得出我们的结论 对于二次交替容度，由于它对应的 Choquet 积分具有次可加性，通过建立非可 加概率下的切比雪夫不等式和波雷尔-坎特利引理，得到了更强的结果.我们可 以看到，对上概率来说，极限值在一个区间内，但是对于二次交替容度，极限 值仍旧是一个数下面给出本章的核心定理 下面的两个定理分别给出两两 负相关随机变量序列在上概率下的强、弱大数定律. 第二章，我们研究从倒 向随机微分方程引入的一类非可加概率：g-概率.Pardoux 和 Peng[69]证明了在 函数 g 满足假设（H1）：平方可积条件，和（H2）：Lipschitz 条件下，下面 的倒向随机微分方程存在唯一的适应解.如果函数 g 还满足假设（H3）：对任意 的（y，t） ，g（y，0，t）=0，那么 y0（ξ） ，记为 εg[ξ]，称为 ξ 的 g-期 望.特别的对于事件 A，εg[IA]，记为 Pg（A） ，称为 A 的 g-概率.显而易见， g-概率是一类容度.本章围绕 g-概率的性质，四个方面展开我们的研究.倒向随 机微分方程可以作为研究 g-概率的一个有利工具，这是其它非可加概率所不及 的。

首先，我们给出 g-概率和二次交替容度的关系.目前对于容度的研究大 多致力于二次交替容度.从以往对于 g-概率和二次交替容度关系的研究，我们 看到很难建立它们之间的一个等价关系但是当 g 是一个奇函数的时候，可以证明，如果 g-概率是二次交替的，那么它一定是线性的 定理 2.2.6 假设 函数 g 满足条件（H2）和（H3） ，且 g 是一个奇函数那么下面的两个条件等价：（1）Pg 是二次交替的 （2）Pg 是线性的 其次，我们考虑切比雪 夫不等式.切比雪夫不等式在证明各种大数定律中起到了基本的作用，是现代概 率理论中一个重要的工具.我们自然的要问：在什么样的假设条件下，g-概率也 满足切比雪夫不等式?在这章，我们就要解决这个问题.在函数 g 满足（H2）和 （H3）的条件下，如果 g 还满数定律和 P 中概率下广义的大数定律的关系，从 而得到了这样的结论：如果想确立 g-概率下的大数定律，我们只需要研究 P 中 概率测度下对应的大数定律. 定理 2.4.16 令 Pg 是 g-概率，{Xn}n∈N 是 L2（Ω，F，P）中的随机变量序列.假设存在 P 中概率测度 Q0，使得（Xn}n∈N 在 Q0 下服从广义下的弱（强）大数定律，那么{Xn}n∈N 在 Pg 下服从广义下的 弱（强）大数定律. 定理 2.4.18 令 Pg 是 g-概率，{Xn}n∈N 是 L2（Ω，F，P）中的随机变量序列.假设{Xn}n∈N 在 Pg 下服从广义下的弱（强） 大数定律，那么对于 P 中任意的概率测度 Q，都有{Xn}n∈N 在 Q 下服从广义下 的弱（强）大数定律. 切比雪夫不等式在证明各种形式的大数定律中起了重 要的作用.基于我们得到的 g-概率下的切比雪夫不等式，下面给出由其推导出 的 g-概率下的一个弱大数定律. 定理 2.4.23 令{Xn}n∈N 是 L2（Ω，F，P） 中的随机变量序列.假设函数 g 满足条件（H2） ， （H3） ，且 g 是正齐的。

记 Sn=（）如果当 n→∞时， （）那么{Xn}n∈N 在 g-概率下服从弱大数定律.即， 对（）εgt;0， 在第二章的最后，我们引入了在 g-期望的框架下，随 机变量的方差，相关性和相关系数，给出了它们的基本性质.我们深入研究了这 些性质在 g-期望这种非线性情况下和经典的线性情况下的异同. 定义 2.5.13 令 ξ 是属于 L4（Ω，F，P）的随机变量.ξ 在 g-期望下的方差定义为 下面 的定理说明了在 g 满足（H2）-（H4）的条件下，一个随机变量的可能取值与其 它常数在 g-期望下的平方距离可能会比方差小.但是，其方差或者距离-εg[- ξ 的扰动比距离区间[-ξg[-ξ]，εg[ξ]之外的常数的扰动总是要小正文内容正文内容非可加集合函数，比如外测度，早在经典测度理论的初期就已出现.经典测 度理论主要研究可数可加集合函数和更一般的有限可加集合函数Choquet 于 1953 年最早的提出了非可加集合函数理论，即他的容度理论这个理论无论在 数学，还是科学技术的其它不同领域都产生了巨大的影响.非可加集合函数应用 广泛，在经济数学，决策理论，和人工智能等不同领域被叫作不同的名字，比 如合作博弈，容度，或者模糊测度.近年来，很多学者深入研究了不同类型的非 可加集合函数，比如上概率，信念函数，二次交替容度，零可加集合函数，以 及其它各种形式的集合函数（见[29]，[31]，[49]，[84]，[88]等）从倒向随 机微分方程引出的 g-概率就是其中之一.Pardoux 和 Peng[69]引入了一类倒向 随机微分方程，并且证明了其解的存在唯一性.自此，倒向随机微分方程不仅在 其自身理论方面得到了迅猛的发展（见[26]，[50]等） ，在金融数学和经济数学 中也成为一强有力的工具（见[58]，[59]等）Peng[71]通过倒向随机微分方程 引进了 g-期望.在生成元 g 和终端值 ξ 满足一定的可积条件下，随机变量 ξ 的 g-期望保持了经典数学期望除线性之外的其它一些基本性质.由 g-期望自然 的可以定义一类非可加概率：g-概率. 本文致力于非可加概率和倒向随机微 分方程的研究.主要结果如下： 1.在上概率和二次交替容度下，分别证明了 两两负相关随机变量序列的大数定律. 2.研究了 g-概率的二次交替性，证明 了 g-概率的切比雪夫不等式，g-概率下的大数定律，介绍了 g-概率下随机变量 的方差，相关性和相关系数的定义及其性质. 3.给出了广义的变分公式，并 且利用倒向随机微分方程的方法证明了一些结论。

本文共包括三章，下面给 出每一章的主要内容. 第一章，我们研究容度下的大数定律.我们考虑了两两 负相关随机变量序列，分别证明了在上概率和二次交替容度下的大数定律.对于 上概率，我们自然的想到利用经典测度理论中的已有结果，得出我们的结论 对于二次交替容度，由于它对应的 Choquet 积分具有次可加性，通过建立非可 加概率下的切比雪夫不等式和波雷尔-坎特利引理，得到了更强的结果.我们可 以看到，对上概率来说，极限值在一个区间内，但是对于二次交替容度，极限 值仍旧是一个数下面给出本章的核心定理 下面的两个定理分别给出两两 负相关随机变量序列在上概率下的强、弱大数定律. 第二章，我们研究从倒 向随机微分方程引入的一类非可加概率：g-概率.Pardoux 和 Peng[69]证明了在 函数 g 满足假设（H1）：平方可积条件，和（H2）：Lipschitz 条件下，下面 的倒向随机微分方程存在唯一的适应解.如果函数 g 还满足假设（H3）：对任意 的（y，t） ，g（y，0，t）=0，那么 y0（ξ） ，记为 εg[ξ]，称为 ξ 的 g-期 望.特别的对于事件 A，εg[IA]，记为 Pg（A） ，称为 A 的 g-概率.显而易见， g-概率是一类容度.本章围绕 g-概率的性质，四个方面展开我们的研究.倒向随 机微分方程可以作为研究 g-概率的一个有利工具，这是其它非可加概率所不及 的。

首先，我们给出 g-概率和二次交替容度的关系.目前对于容度的研究大 多致力于二次交替容度.从以往对于 g-概率和二次交替容度关系的研究，我们 看到很难建立它们之间的一个等价关系但是当 g 是一个奇函数的时候，可以 证明，如果 g-概率是二次交替的，那么它一定是线性的 定理 2.2.6 假设 函数 g 满足条件（H2）和（H3） ，且 g 是一个奇函数那么下面的两个条件等价：（1）Pg 是二次交替的 （2）Pg 是线性的 其次，我们考虑切比雪 夫不等式.切比雪夫不等式在证明各种大数定律中起到了基本的作用，是现代概率理论中一个重要的工具.我们自然的要问：在什么样的假设条件下，g-概率也 满足切比雪夫不等式?在这章，我们就要解决这个问题.在函数 g 满足（H2）和 （H3）的条件下，如果 g 还满数定律和 P 中概率下广义的大数定律的关系，从 而得到了这样的结论：如果想确立 g-概率下的大数定律，我们只需要研究 P 中 概率测度下对应的大数定律. 定理 2.4.16 令 Pg 是 g-概率，{Xn}n∈N 是 L2（Ω，F，P）中的随机变量序列.假设存在 P 中概率测度 Q0，使得（Xn}n∈N 在 Q0 下服从广义下的弱（强）大数定律，那么{Xn}n∈N 在 Pg 下服从广义下的 弱（强）大数定律. 定理 2.4.18 令 Pg 是 g-概率，{Xn}n∈N 是 L2（Ω，F，P）中的随机变量序列.假设{Xn}n∈N 在 Pg 下服从广义下的弱（强） 大数定律，那么对于 P 中任意的概率测度 Q，都有{Xn}n∈N 在 Q 下服从广义下 的弱（强）大数定律. 切比雪夫不等式在证明各种形式的大数定律中起了重 要的作用.基于我们得到的 g-概率下的切比雪夫不等式，下面给出由其推导出 的 g-概率下的一个弱大数定律. 定理 2.4.23 令{Xn}n∈N 是 L2（Ω，F，P） 中的随机变量序列.假设函数 g 满足条件（H2） ， （H3） ，且 g 是正齐的。

记 Sn=（）如果当 n→∞时， （）那么{Xn}n∈N 在 g-概率下服从弱大数定律.即， 对（）εgt;0， 。