人教版九年级数学《二次函数》知识点梳理与总结.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点一、二次函数的概念《二次函数》单元学问梳理与总结1、定义：一般地，假如y ax 2bx c〔a ,b,c 是常数， a0〕 ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2、留意点：（ 1）二次函数是关于自变量 x 的二次式， 二次项系数 a 必需为非零实数， 即 a≠ 0，而 b、c 为任意实数；（2）当 b=c=0 时，二次函数 yax 2 是最简洁的二次函数；（ 3）二次函数 yax 2bx c〔a, b, c 是常数， a0〕 自变量的取值为全体实数 （ax 2bx c 为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （ a≠ 0），bb 4ac b 2对称轴：直线 x=2a顶点坐标： 〔， 〕2a 4a（2）顶点式： ya x h 2k （ a≠ 0），对称轴：直线 x= h 顶点坐标为（ h , k ）（3）交点式： y=a（ x-x1）（ x-x 2）（a≠ 0） ,x1 x2对称轴 :直线 x=2〔其中 x 1、x 2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标 〕.二、二次函数的图象1、二次函数y ax2bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线 .2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2 ；② yax 2k ；③ y2a x h ；④y a x h 2k ；⑤ yax 2bx c .注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数 yax 2bx c 的图像的画法由于二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图经常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1) 先找出顶点坐标，画出对称轴；(2) 找出抛物线上关于对称轴的四个点 〔如与坐标轴的交点等 〕；(3) 把上述五个点按从左到右的次序用平滑曲线连结起来 .三、二次函数的性质函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标y ax 2y ax 2 k当 a 0 时开口向上x 0（ y 轴） （ 0,0 ）x 0（ y 轴） 〔0, k 〕 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点y a x h 2y a x h 2 k当 a 0 时 x h开口向下x h〔 h ,0〕〔 h , k 〕2 b b 4ac b2y axbx cx 〔 ， 〕2a 2 a 4a注：常用性质：1、增减性：当 a>0 时，在对称轴左侧， y 随着 x 的增大而削减；在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大；当 a<0 时，在对称轴左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而削减；2、最大或最小值：当 a>0 时，函数有最小值，并且当 x=当 a<0 时，函数有最大值，并且当 x=b， y 最 小 ＝2ab， y 最 大 ＝2a4ac b2 4a4ac b 24a四、.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标；① a 的符号打算抛物线的开口方向②对称轴平行于 y 轴（或重合）的直线记作x h . 特殊地， y 轴记作直线 x 0.③顶点打算抛物线的位置 .几个不同的二次函数，假如二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .五、抛物线 yax 2bx c 中 a、b、c 的作用1 、a 打算抛物线的开口方向和开口大小a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a>0 时，函数开口方向向上；当 a<0 时，函数开口方向向下；a 的大小打算抛物线的开口大小：当 a 越大时，开口越小；当 a 越小时，开口越大；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同 .2、a 和 b 共同打算抛物线的对称轴位置； （x= b ）2a左同右异：①假如对称轴在 Y 轴左侧，就 a、b 符号相同；②假如对称轴在 Y 轴右侧，就 a、 b 符号相反；留意点：① b 0 时，对称轴为 y 轴； 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点② b 0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；a③ b 0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧 .a3、c 的大小打算抛物线于 y 轴的交点位置；当 x 0 时， yc ，∴抛物线 yax2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：留意点：① c 0 ，抛物线经过原点 ;② c 0 , 与 y 轴交于正半轴；③ c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，就六、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减b 0 .a抛物线的平移实质是顶点的平移，由于顶点打算抛物线的位置，所以，抛物线平移时第一化为顶点式y ax 2――――――――――――――→y向上（ k>0 ）向下（ k<0）平移︱ k︱个单位ax2 ky a xh2―――――――――――→y a x h 2 k向上（ k>0 ）向下（ k<0 ）平移︱ k︱个单位七、二次函数最大值和最小值的求法二次函数是否有最值，由 a 的符号确定；1、 当 a>0 时，抛物线有最低点，函数有最小值，当 x=b， y 最 小 ＝2a4ac b 24a2、 当 a<时，抛物线有最高点，函数有最大值，当 x=八、用待定系数法求二次函数的解析式b， y 最大 ＝2a4 ac b 24 a（ 1）一般式： yax 2bx c. 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常挑选一般式 .（ 2）顶点式： ya x h 2k . 已知图像的顶点或对称轴或最值，通常挑选顶点式 .（ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标x1、x2 ，通常选用交点式：y a xx1 xx2 .九、抛物线 yax 2bx c （ a0 ）与 x 轴的交点个数 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点与 x 轴交点，令 y ＝0，就有ax 2bx c0 即解一元二次方程① 当△ >0 时，方程ax 2bx c0 有两个不相等的实数根，即抛物线y ax2bx c 与 x 轴有两个不同的交点；② 当△＝ 0 时，方程ax 2bx c0 有两个相等的实数根， 即抛物线 yax 2bx c 与 x 轴有一个交点；③当△ < 0 时，方程ax 2bx c0 没有实数根， 即抛物线 yax 2bx c与 x 轴没有交点；十、抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 yax 2bx c与 x 轴两交点为A x ，0 ， Bx ，0，由于x 、x 是方程ax 2bx c0 的两个1 2 1 2根，故b cx1 x2, x1 x2a a十一、直线与抛物线的交点问题（1） y 轴与抛物线 yax2bx c 得交点为 〔0, c 〕.（ 2）抛物线与 x 轴的交点二 次 函 数 yax2bx c的 图 像 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标x1 、x2 ， 是 对 应 一 元 二 次 方 程ax2bx c0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切；③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -。