初三数学二次函数 用函数观点看一元二次方程知识精讲 人教实验版 试题.doc

初三数学二次函数 用函数观点看一元二次方程知识精讲一. 本周教学内容：1. 二次函数 2. 用函数观点看一元二次方程二、重、难点：二次函数的概念、图像及性质例1、已知：函数是二次函数．（1）求函数解析式；解：根据二次函数的定义，有由（2）解得m＝3，m＝－1．由（1）知，m≠3．所以m＝－1．所以函数解析式为y＝－4x2．答案：函数解析式为y＝－4x2．（2）写出开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出草图；答案：因为a＝－4＜0，所以开口向下；对称轴是y轴；顶点坐标为（0，0）；函数图像如图，（3）x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？答案：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．例2、将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）A. 向左平移4个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移4个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移4个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移4个单位，再向下平移1个单位答案：向右平移4个单位，再向下平移1个单位．因此选D． 例3、二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）A. 开口向下、对称轴为、顶点坐标（2，9）B. 开口向下、对称轴为， 顶点坐标（2，9）C. 开口向上，对称轴为，顶点坐标（－2，9）D. 开口向上，对称轴为， 顶点坐标（－2，－9）答案：B． 例4、已知二次函数（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；分析：用配方法或公式法都可迅速得到这三个结果．求一个二次函数的顶点坐标，对称轴和最值要熟练掌握． 答案：顶点坐标（－2，－4.5），对称轴：直线x＝－2；因为二次项系数大于0，所以函数有最小值－4.5．（2）求出抛物线与x轴、y轴交点坐标； 解：令y＝0，则，解得x＝－5，x＝1． 所以抛物线与x轴的交点坐标为（－5，0），（1，0）．令x＝0，则y＝．所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，） 点评：要熟练掌握抛物线与x轴、y轴的交点坐标的求法．（3）作出函数图象，并观察图象，x为何值时，y>0；x为何值时，y<0；x为何值时，y＝0． 分析：画函数图象是一项非常重要的基本功．画示意图时，需要充分利用二次函数的对称性． 答案：如图． 利用函数图像，可以得到当x＞1或x＜－5时，y>0；当－5＜x＜1时，y<0；当x＝－5，x＝1时，y＝0．例5、已知：抛物线． （1）求证：此抛物线与x轴一定有两个交点； 分析：判断抛物线与x轴的交点问题，常通过计算判别式来作出判断．答案：因为△＝22－4（－8）＝36＞0，所以抛物线与x轴有两个交点． （2）若此抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为C，求△ABC的面积．分析：要求△ABC的面积，可先确定线段AB的长度，然后以AB为底，以顶点C的纵坐标的绝对值作为AB边上的高，利用面积公式求出．在这里，有一个数形结合的问题，要注意坐标与线段的相互转化．答案：因为A、B两点的坐标分别为（－4，0），（2，0），所以AB＝6．顶点坐标为（－1，－9）．所以S△ABC＝＝27．例6、二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝ax＋c在同一坐标系中的图象大致是（　　）A B C D 答案：D例7、（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c 这四个代数式中，值为正数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个答案：A（2）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与轴相交于负半轴.（1）给出四个结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是 ；答案：①④（2）给出四个结论：① ；② ；③ ； ④.其中正确结论的序号是 ．答案：②③④例8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上（不与A、B重合），分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.（1）用含y的代数式表示AE，得AE＝________.（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围.（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值.解：（1）AE＝8－y （2）∵∠C＝90，DE⊥AC，DF⊥BC∴四边形DECF是矩形．∴DF＝EC，DE∥BC∴△ ADE∽△ABC∴∵DE＝x，BC＝4，AC＝8，AE＝8－y∴∴y＝8－2x，（0＜x＜4. ）（3）∵四边形DECF是矩形，∴S＝DEDF＝xy＝x（8－2x）＝－2x2＋8x.∵a＝－2＜0，∴当x＝2时，S最大＝8．例9、如图，已知抛物线L1: y＝x2－4的图像与x轴交于A、C两点，（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点一定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．分析：（1）问中求l2的解析式要充分应用l2与l1关于x轴对称这一特点．（2）问中验证点在函数图像上，在综合题中很常见，是必须要掌握的基本方法．（3）问是一个开放性的问题，需要比较扎实的基本功和一定的处理最值问题的技巧．解：（1）设l2的解析式为y＝a（x－h）2＋k∵l1与x轴的交点为A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，－4），l1与l2关于x轴对称， ∴l2过A（－2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4） ∴y＝ax2＋4 ∴0＝4a＋4 得 a＝－1 ∴l2的解析式为y＝－x2＋4 （2）设B（x1 ，y1） ∵点B在l1上 ∴B（x1 ，x12－4） ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ∴B、D关于O对称 ∴D（－x1 ，－x12+4）. 将D（－x1 ，－x12+4）的坐标代入l2：y＝－x2+4 ∴左边＝右边 ∴点D在l2上. （3）设平行四边形ABCD的面积为S，则 S＝2S△ABC ＝AC|y1|＝4|y1| a.当点B在x轴上方时，y1＞0 ∴S＝4y1 ，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， ∴S既无最大值也无最小值 b. 当点B在x轴下方时，－4≤y1＜0 ∴S＝－4y1 ，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， ∴当y1 ＝－4时，S有最大值16，但它没有最小值 此时B（0，－4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上. ∴AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形 此时S最大＝16. 点评：这是一道很有意思的题．（1）问一般的同学都会很快得出答案，但要写出解题过程，部分同学就会感到困难．（2）问比较常见，但需要将B点坐标利用B、D关于原点对称转化为D点坐标，这是一个比较重要的技巧，需要熟练掌握．（3）问中处理最值问题的手段值得借鉴，认真反思，应该有许多收获．（答题时间：40分钟）一、选择题1、若y＝（2－m）是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）A. B. － C. D. 02、直线y＝2x－1与抛物线y＝x2的交点坐标是（ ）A. （0，0），（1，1） B. （1，1）C. （0，1），（1，0） D. （0，－1），（－1，0）;3、如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 14、若ab＞0，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（ ）5、二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 76、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ） A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a、b、c都小于07、关于函数y＝2x2－8x，下列叙述中错误的是（ ）A. 函数图象经过原点 B. 函数图象的最低点是（2，－8）C. 函数图象与x轴的交点为（0，0），（4，0）D. 函数图象的对称轴是直线x＝－28、若抛物线y＝ax2－6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题9、抛物线y＝ax2向左平移一个单位，再向下平移8个单位且y＝ax2过点（1，2），则平移后的解析式为______________;10、将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 . 11、抛物线y＝2x2＋4x＋5的对称轴是x＝_________，顶点坐标是 12、已知抛物线y＝4x2－11x－3，求它与x轴、y轴的交点坐标 15题三、解答题13、已知二次函数的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若点A的坐标为（1，0），求二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．[参考答案]一、1、B 2、B 3、C 4、D 5、C 6、C 7、D 8、B二、9、y＝2（x+1）2－8；10、y＝－x2；11、x＝－1，（－1，3）；12、与x轴的交点坐标为（－0.25，0），（3，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．三、13、（1）C（0，－3）；（2）将（1，0）代入中，得m＝2，所以二次函数的解析式为；（3）存在这样的点P，它的坐标分别为（0，1），（0，－1），（0，9），（0，－9）．。