小学奥数-求硬币旋转圈数问题.pdf

求硬币旋转圈数问题”的另一种方法2004 年《小学数学教师》第5 期 77 页上有这样一个著名的经典问题：甲乙两枚大小相等的硬币现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？这题的答案是 2 圈，对于文中的答案书上给出了两种解释对于这两种方法，虽然都说明了为什么会转2 圈的道理，但都显得比较抽象、难懂而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉我认为还有更直观易懂的方法去解释它一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度二、证明： “如右图， 圆和这条直线相切于 A 点，这个圆从A 点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A 点， 这时圆心所经过路径长度为线段OO 的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个长度是一样的事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样去理解的：甲硬币固定不动， 乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时， 乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆， 如右图，设这个大圆的半径为R，这个大圆的周长 =乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。

利用预备定理： 这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR，而乙甲硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr（本圆的周长）这儿 R=2r，所以2πR是2πr 的 2 倍，2πR÷2πr=2，即硬币乙一共旋转了2 圈用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数例 1：取八个大小相同的硬币，摆成右图形状最上端那个硬币（圆A）顺着排成圈的 6 个硬币滚动着旋转一圈 问硬币 A 自己一共转了几圈？分析与解答：设每个硬币直径为 1，当圆 A 转至 A 位置（此时圆 A 与圆 B 和圆 C 都相切）时，圆 A 始终以圆 B 的圆心为圆心，1 为半径旋转且旋转了60，这个轨迹的长度为2×π×1×= 可以看出，圆 A 顺着 6 个硬币旋转一周， 所滚过的路径长度为12×=4π，而硬币 A 自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π, 因此硬币 A 一共转了 4π÷π=4（圈） 。

例 2： 如右图所示，如果圆 O 周长为 20π厘米，有两个同样大小的小圆A、B，其半径为 2 厘米，小圆 A 沿圆 O 的内壁滚动，小圆B 沿圆 O 的外壁滚动，小圆 B 转动几圈后回到原来的位置？小圆B转动几圈后回到原来的位置？小圆A 转动几圈后回到原来的位置？分析与解答：圆 O 的半径为 20π÷π÷2=10 厘米，当小圆 B 沿圆 O 的外壁滚动再回到原来位置时， 小圆 B 的圆心所经过的轨迹为 “以 O 为圆心，以 （10+2）厘米为半径的圆这个轨迹长度为2×12×π，而这个长度也等于小圆B 的圆周滚过的长度，而小圆B 自己转一圈的长度为2×2×π， （2×12×π）÷（ 2×2×π）=6 圈小圆 A 沿圆 O 内壁滚动再回到原来位置时，小圆A 的圆心的运动轨迹为“以O 为圆心，以（ 10－2）厘米为半径的圆所以小圆 A 的圆心共经过了 2×8×π厘米， （2×8×π）÷（ 2×2×π）=4 圈推广到更一般的情况： 当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲+ R乙）÷（ 2πR乙）=（R甲+ R乙）÷R乙，在圆甲的内圆周作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲- R乙）÷（ 2πR乙）=（R甲－R乙）÷R乙， （R甲＞R乙） ，用这种方法解题更直观简便且操作性强。

现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题，最后所附其余题目可以自己思考1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动，大轮的半径是小轮的直径小轮滚动一周回到原来位置时， 小轮自己旋转了几圈？ （第 9 届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题）解答： R=2r， （R- r）÷r=1 圈2、如右图，在一边长为8.28 厘米的正方形内有一个半径为1 厘米的小圆，小圆紧贴正方形的内壁滚动一周，小圆自己要转几圈？解答：小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后，圆心经过的轨迹为一个边长6.28厘米(8.28－1－1)的正方形，其长度为 6.28×4=25.12厘米，这个长度也等于小圆的圆周一共所滚过的长度小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28 厘米, 25.12÷6.28=4圈拿两个 5毛硬币，一个 不动，另一个贴着 第一个转，总共转 1 周，问第二个硬币 转了几圈 ？这个问题看似很无聊， 自己拿硬币试试就知道了 （当然我没有一次成功的转满一 周，每次都打滑╮ (╯▽╰)╭）实际上，我的第一反应是：肯定不是1 圈， 2 圈差不多，不过也太巧合了吧然而，生活总是玩弄我们，这种巧合确实存在， 事实上答案确实是 两圈。

然而，生活中的数学问题肯定是有依据的，我们试着从 理论层面来分析这个问题一个圆绕着另一个圆旋转，这个问题有点复杂，我们不妨将问题化简一下： 一个 圆在一条线上运动，它运动的距离是多少？答案很显然，就是 圆心所走的距离 ！由此，我们容易知道， 一个圆转动过程中， 运动的路程等于圆心运动的路程有趣的事情发生在一条折线上当圆运动到线段的尽头时，它会转向，而此时底部的点是静止不动的至于怎么 转向,, 我们知道，圆 O与第一条线段相切 ，前进过程中圆始终保持这个状态， 相当于以转折点为圆心、圆的半径为半径，做一条弧，运动到圆O ’时，圆 O ’ 要与第二条线段相切 由此，我们易知：圆 O在转折时，运动的距离就是弧O ’O 的长度 （注意，此时圆下面那个点不动，只是“重心转移”）说到这里，原来滚硬币的问题应该就很容易解决了我们推广到一般情况，两个圆，圆A和圆 B半径分别是 r 和 R ，两圆切与 C点， 圆 B绕着圆 A转一周则圆 B运动的路程就是以A为圆心、 (r+R) 为半径的圆的 周长，即 2π(r+R) 我们要计算圆 B转的圈数，实际上就是除以圆B的周长 所以圆 B转的圈数就是： 2π(r+R)/2 πR即(r+R)/R 。

对于两个 5 毛硬币， r=R， 所以转的圈数就是 (1+1)/1=2 圈其实我们还可以有更多的玩法，比如说把这个圆放到一个三角形外面圆的半径为 r ，三角形三边分别长aπr，bπr，cπr ，圆运动的路程就如图中虚 线所示我们可以把它拆成两部分， 一部分是 (a+b+c) πr ，另一部分就是三个弧 部分这三个弧又应该怎么算呢？生活再次玩弄了我们，这三个弧的角度之和等于360°！原因就是每个条弧所对 的角都与三角形的一个角互补，于是乎三条弧度数之和就是 (180°- ∠A)+(180°- ∠B)+(180°- ∠C)=180°×3- 180°=360°！也就是一个 圆，所以三条弧总长2πr 所以圆转动的圈数就 =(a+b+c+2) πr/2 πr=(a+b+c+2)/2 当然，你还可以把这个圆扔到抛物线上等等,,。