2022届向量与三角形的四心讲义高三数学二轮专题复习.docx

向量与三角形的四心【知识清单】一、向量与重心1.重心定义：三角形三条中线的交点叫作重心，一般记为G2.相关结论：（1）G是ΔABC的重心，则GxA+xB+xC3，yA+yB+yC3；（2）G是ΔABC的重心，则GA+GB+GC=0；（3）G是ΔABC的重心，P是ΔABC所在平面内一点，则PG=13PA+PB+PC；（4）若AP=λAB+AC，λ∈R，则P在BC边的中线上；（5）G是ΔABC的重心，则GA2+GB2+GC2最小；（6）G是ΔABC的重心，则SΔGAB=SΔGBC=SΔGAC=13SΔABC3.奔驰定理：若O为ΔABC内一点，满足mOA+nOB+kOC=0，则SΔAOB：SΔBOC：SΔAOC：SΔABC=k：m：n：m+n+k二、向量与垂心1.垂心定义：三角形三条高线的交点叫作垂心2.相关性质：锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外部3.与向量相关的表达式：记H为ΔABC的垂心，则有：（1）H是ΔABC的垂心⇔HA·BC=HB·AC=HC·AB=0；（2）HA·HB=HB·HC=HC·HA；（3）HA2+BC2=HB2+CA2=HC2+AB2；（4）若AP=λABccosB+ACbcosC，λ∈R，则P在BC边的垂线上。

三、向量与外心1.外心定义：三角形三条边的中垂线（垂直平分线）的交点叫作外心，即三角形外接圆的圆心2.相关性质：（1）外心到三角形的三个顶点的距离相等；（2）锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部3.相关结论：（1）O为ΔABC的外心，则OA=OB=OC；（2）O为ΔABC的外心，则OA+OB·AB=OB+OC·BC=OA+OC·AC=0；4.射影：在圆O中，AB为弦，则AO·AB=12AB2四、向量与内心1.三角形三条角平分线的交点叫作内心，内心即三角形内切圆的圆心，内心到三角形三边距离相等2.有关内心的向量表达式：记O为ΔABC的内心，则有：（1）若AP=λABAB+ACAC，λ∈R，则P在角A的角平分线上；（2）若O是ΔABC的内心，则aOA+bOB+cOC=0证明思路：转化为内心的表达式由aOA+bOB+cOC=0可得：aOA+bOA+AB+cOA+AC=0aOB+BA+bOB+cOB+BC=0aOC+CA+bOC+CB+cOC=0，a+b+cOA+bAB+cAC=0aBA+a+b+cOB+cBC=0aCA+bCB+a+b+cOC=0，故OA=−bca+b+cOBOB+OCOCOB=−aca+b+cOAOA+OCOCOC=−aba+b+cOAOA+OBOB，OA、OB、OC经过内心，所以O是ΔABC的内心。

1.在ΔABC中，已知O为ΔABC所在平面内一点，若OA+OB+OC=0，则O是ΔABC的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心2.已知O是ΔABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+λABABsinB+ACACsinC，λ∈0，+∞，则动点P的轨迹一定通过ΔABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.已知A、B、C是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点P满足OP=131−λOA+1−λOB+1+2λOC，λ∈R，则点P的轨迹一定经过ΔABC的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心4.O为ΔABC内一点且OA+OB+2OC=0，则ΔOBC和ΔABC的面积比SΔOBCSΔABC=_________5.设O为ΔABC内一点，已知OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，则SΔAOB+2SΔBOC+3SΔCOASΔABC=________。

6.已知O是ΔABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0，+∞，则动点P的轨迹一定通过ΔABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心7.在ΔABC中，若OA·OB=OB·OC=OC·OA，那么点O是ΔABC的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心8.点O为ΔABC所在平面内一点且满足OA2+BC2=OB2+AC2=OC2+AB2，则O是ΔABC的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心9.已知O是ΔABC所在平面上一点且满足OA2+BC2=OB2+CA2，则点O（ ）A.在过点C且与AB垂直的直线上B.在∠A的平分线所在直线上C.在边AB的中线所在直线上D.以上都不对10.已知O是ΔABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OB+OC2+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0，+∞，则动点P的轨迹一定通过ΔABC的（ ）。

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心11.在ΔABC中，已知O为ΔABC所在平面内一点，若OA+OB·AB=OB+OC·BC=OA+OC·AC=0，则点O是ΔABC的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心12.已知O是ΔABC所在平面上一定点，动点P满足OP=OA+λABAB+ACAC，λ∈0，+∞，则动点P的轨迹一定通过ΔABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心13.在ΔABC中，已知O为ΔABC所在平面内一点，若aOA+bOB+cOC=0，其中a、b、c分别为ΔABC内角A、B、C的对边长，则点O是ΔABC的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心14.在ΔABC中，已知O为ΔABC所在平面内一点，若PO=aPA+bPB+cPCa+b+c，其中a、b、c分别为ΔABC内角A、B、C的对边长，P为ΔABC所在平面内的任意一点，则点O是ΔABC的（ ）。

A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心题 号1234567答 案DCD14116DB题 号891011121314答 案BAACBAA。