线性代数的学习方法和心得体会.docx

线性代数的学习方法和心得体会一、学习方法今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解这些东西大部分是凭 着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出 但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来首先说说空间（space），这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开 始，一步步往上加定义，可以形成很多空间线形空间其实还是比较初级的，如 果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间赋范线性空间满足完备性，就成了 巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备 性，就得到希尔伯特空间总之，空间有很多种你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一 个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间 这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看 到，其实这是很有道理的我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝 对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不 管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点仔细想想我 们就会知道，这个三维的空间：1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2.这些点之间存在相对的关系；3.可以在空间中定义长度、角度；4.这个空 间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换）， 而不是微积分意义上的“连续”性的运动，认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。

事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变 换）你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中 有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都 只不过是对应空间中允许的运动形式而已因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应 空间的运动下面我们来看看线性空间线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我 们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合那 么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点 吗？2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可 以直截了当的给出答案线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法， 都可以表达为向量的形式通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例 子：L1.最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这 个线性空间中的每一个对象是一个多项式如果我们以X0, X1, ..., xn为基，那 么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量气 其实就是多项式中X(i-1 )项的系数。

值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所 选取的那一组基线性无关就可以这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说， 提一下而已下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的 问题线性空间中的运动，被称为线性变换也就是说，你从线性空间中的一个点 运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成那么，线性变换如 何表示呢？很有意思，性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向 量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运 动(变换)而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵， 乘以代表那个对象的向量简而言之，性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动， 用矩阵与向量的乘法施加运动是的，矩阵的本质是运动的描述如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就 可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述°（chensh，说你呢！）可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是nx 1矩阵吗？这实在是很 奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示能说这是巧合 吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的 性质，均与这个巧合有直接的关系。

接着理解矩阵、、、我们说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见但 是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转因为运动这个概念，在数学和物 理里是跟微积分联系在一起的我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告 诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学， 是研究运动的数学大家口口相传，差不多人人都知道这句话但是真知道这句 话说的是什么意思的人，好像也不多简而言之，在我们人类的经验里，运动是 一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地 经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念而连续这个事情，如果不定义 极限的概念，根本就解释不了古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念， 所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过 乌龟等四个悖论）搞得死去活来因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多 说了有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》我就是读了这 本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理矩阵是线性空间里跃迁的描述”可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。

因此我们最后换用一个正牌的数学术语一一变换，来描述这个事情这样一说， 大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一 个点（元素/对象）的跃迁比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到 另一个点的跃迁再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点 的跃迁附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟做计算机图形学的朋 友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换 矩阵都是4x4的说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看 来简直就是企图蒙混过关真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变 换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的想想看，在向量空间里相一 个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然 不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间而仿 射变换的矩阵表示根本就是4x4的又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算 机图形学一一几何工具算法详解》一旦我们理解了 “变换”这个概念，矩阵的定义就变成：“矩阵是线性空间里的变换的描述到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。

不过还要多说几 句教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一 组基之后，就可以表示为矩阵因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么 是基，什么叫选定一组基线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得 对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有： T(ax + by) = aT(x) + bT(y)， 那么就称T为线性变换接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看 成是线性空间里的坐标系就可以了注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一 个“对立矛盾统一体”这样一来，“选定一组基”就是说性空间里选定一 个坐标系就这意思好，最后我们把矩阵的定义完善如下：“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述在一个线性空间中，只要我们 选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵 来描述这个线性变换换一组基，就得到一个不同的矩阵所有这些矩阵都是这 同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照 片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述 的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄 弟了，见面不认识，岂不成了笑话。

好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为 选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵 P，使得A、B之间满足这样的关系：A = P-BP线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义没错， 所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵按照这个定义，同一头 猪的不同角度的照片也可以成为相似照片俗了一点，不过能让人明白而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的 基这两组基之间的一个变换关系关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来 证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在 blog里补充这个证明这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了但是，事情没 有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以 作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述而作为变换的矩阵，不但可 以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个 坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去而且，变换点与变换坐标系，具有 异曲同工的效果。

线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中理解了这些内容， 线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉二、学习心得线性代数是一门对理工科学生极其重要数学学科线性代数主要处理的是线 性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大它的理论不仅 渗透到了数学的许多分支中，而且在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、 生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用同时，该课程对于培养学生 的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最 广泛的数学学科了我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用 涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级 的应用我自己对线性代数的应用了解的也不多但是，线性代数在计算机数据 结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用没有应用到的内容很容易忘，就像现代一样，我现在高数还基本记得因为 高数在很多课程中都有广泛的应用，比如在开设的大学物理课中所以，如果有 时间的话，要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用如：《线 性代数》（居余马等编，清华大学出版社）上就有线性代数在“人口模型”、“马 尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面的应用。

也可以 试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理，如老的高中 解析几何课本上的转轴公式，它就可以用线性代数中的过渡矩阵来证明线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难在这 门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理 解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题我认为，每门课程都是有章可 循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学上课时干别的会受到 老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句 话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生上课时一 定要“虚心”，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业实际上应该先试着。