01第一节二次型及其矩阵.docx

优秀学习资料 欢迎下载第五章 二次型在解析几何中，为了便于争论二次曲线ax2的几何性质，可以挑选适当的坐标旋转变换bxycy2 1把方程化为标准形式x x cosy x siny sin y cosmx 2 cy 2 1 .这类问题具有普遍性，在很多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，争论 n 个变量的二次多项式的化简问题 .第一节 二次型及其矩阵内容分布图示★★二次型的定义二次型的矩阵形式★★例 1例 2★例3★线性变换★★例 4例 6★例5★矩阵的合同★内容小结★习题 5-1★返回内容要点：一、二次型的概念定义 1 含有 n 个变量x1, x2 ,222, xn 的二次齐次函数f 〔 x1, x2 ,, xn 〕a11 1a22 2a nn nxxx2a12 x1 x 22a23 x 2 x32an1,n xn2a1n x1 xn 2a 2 n x 2 xn1x n称为 二次型 . 当 aijyyy222只争论实二次型 .为复数时， f 称为复二次型；当aij为实数时， f 称为实二次型 .在本章中只含有平方项的二次型f k1 1k 2 2k n n称为 二次型的标准型 〔或法式 〕.二、二次型的矩阵2取 a ji aij,就 2aij xi x jaij xi x ja ji x j xi , 于是x2f 〔 x1, x 2 ,, x n 〕a11 1a12x1 x 2a1nx1x nxna 21 x2 x1a22 2a 2 nx 2 x na n1 x n x1nan 2 x n x 2ann x 2i, jaij x i x j1优秀学习资料 欢迎下载x1 〔a11 x1 x 2 〔 a21x1a12 x 2a22 x2a1n xn 〕 a2n xn 〕x n 〔 an1 x1an2 x 2a11 x1a12 x2ann xn 〕a1n xn〔x1, x2 ,, xn 〕a21 x1a22 x2a2 n xn〔x1, x2 ,, xn 〕an1x1a11 a21an2 x2a12 a22a1n a2nann xnx1 x2x1 a11X T AX .a12an1a1 nan2ann xnx2其中 X ,A a21a22a2n.xn an1an2ann称 f 〔 x〕X T AX 为 二次型的矩阵形式 . 其中实对称矩阵 A 称为该二次型的矩阵 .二次型 f 称为实对称矩阵 A 的二次型 . 实对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩 . 于是，二次型 f 与其实对称矩阵 A 之间有一一对应关系 .三、线性变换定义 2 关系式x1 c11 y1x2 c21 y1c12 y c22 yc1n yn c2n ynxn cn1 y1cn 2 ycnn yn称为由变量x1, x2 ,, xn 到y1, y2 ,, yn 的线性变换 . 矩阵c11 c 21Cc12 c22c1n c2ncn1cn 2cnn称为线性变换矩阵 . 当 | C | 0 时，称该线性变换为可逆线性变换 .对于一般二次型f 〔 X 〕X T AX,我们的问题是：寻求可逆的线性变换X CY 将二次型化为标准型，将其代入得f 〔 X 〕X T AX〔CY〕 T A〔CY 〕Y T 〔C T AC〕Y这里，YT 〔C T AC 〕Y为关于y1 , y2 ,, yn的二次型，对应的矩阵为C T AC .注: 要 Y T 〔CT AC〕Y为标准型，即要C T AC为对角矩阵；由上章实对称矩阵对角化的方法，可取 C 为正交变换矩阵 P .对于简洁的二次型，也可以用用配方法解之 .四、矩阵的合同定义 3 设 A,B 为两个 n 阶方矩阵 ,假如存在 n 阶非奇特矩阵 C,使得C T ACB, 就称矩阵A 合同于矩阵 B,或 A 与 B 合同 ,记为 A B.优秀学习资料 欢迎下载易见 , 二次型f 〔 x1 , x2 ,, x n 〕X T AX的矩阵 A 与经过非退化线性变换X CY 得到的二次型的矩阵 BCT AC 是合同的 .矩阵的合同关系基本性质 :(1) 反身性 对任意方阵 A, AA; 〔由于 E T AEA〕 ;(2) 对称性 如 A B, 就 B A;(3) 传递性 如 AB, BC , 就 A C.例题选讲：例 1 〔1〕f 〔 x, y 〕x 2 3xyy 2 是一个含有 2 个变量的实二次型 .(2) f 〔 x, y, z〕3x 22xy2 xz y 24 yz5 z2是一个 3 个变量的实二次型 .xxx412 3(3) f 〔 x1 , x2 , x 3 , x 4 〕 2 2 2 x2 是一个含有 4 个变量的实二次型 .〔4〕 f 〔 x1 , x2 , x 3 , x 4 〕x1 x22x1 x34x1 x43x 2 x4 是一个含有 4 个变量的实 二次型 .〔5〕 f 〔 x, y〕 x 2xy y 25 x 1 不是一个实二次型 , 由于它含有一次项5x 及常数项 1.x1〔6〕 f 〔 x1 , x 2 , x 3 〕 3x1x 2x1 x 3 不是一个实二次型 , 由于它含有 3 次项x3 .〔7〕型.f 〔 x, y 〕 x 2iy 2 〔i1) 不是一个实二次型 , 由于 i 是虚数 , 但它是一个复二次例 2 写出以下实二次型相应的对称阵 .(1) f 〔 x, y〕 x 23 xy y 2x 2 3 xy23 xy2y 2 ,其相应的对称矩阵为13 / 23/ 2.1(2) f 〔 x, y, z〕3x 23 x22xy xy32 xz2 xz21y 2xy 2 / 24 yzy 25 z22 xy2 xz22 yz5z2相应的实对称阵为1 1 2 .2 / 2 2 5x1〔3〕 f 〔 x1 , x2 , x 3 , x 4 〕 22 2 2xx4x ,2 3相应的实对称阵是一个对角阵 :100001000010000 1.〔4〕 f 〔 x1 , x2 , x3 , x 4 〕x1 x202 x1 x31 / 24x1 x 41 23x 2 x 4 相应的实对称阵为1 / 2003 / 21000.2 3 / 2 0 01 1 0例 3 设有实对称矩阵 A 1001 / 21 / 2 ,22求 A 对应的实二次型 .1例 4 〔讲义例 1〕 二次型x1 x2x1 x32 x23x2 x3的矩阵是优秀学习资料 欢迎下载01/ 21 / 2A1 / 223 / 2 ;1 / 23 / 2001/ 21/ 2反之 , 对称矩阵A1/ 223 / 2 所对应的二次型是1/ 23 / 2001/ 21/ 2x1x T Ax〔x , x, x 〕 1/ 2 2 3 / 2 x x x x x 2 x 2 3x x .1/ 23 / 20x 31 2 3 2 1 2 1 3 2 2 3例 5 〔讲义例 2〕 求二次型f 〔 x , x, x 〕x 4 x x2 x x2 x 6x 的秩 .2221231121323例 6 设二次型f 〔x1, x2 , x3 〕2 x1 x24 x1 x310x2 x 3 , 且x1 y1 y2x 2 y1 y2x 3 y3 .5 y3 ,2 y3 ,〔1〕求经过上述线性变换后新的二次型 .。