2022年知识点及典型例题整理.docx

半群】 G 非空, ·为 G 上的二元代数运算,中意结合律.【群】（非空,封闭,结合律,单位元,逆元）恰有一个元素 1 适合 1·a=a·1=a,恰有一个元素 a-1 适合 a·a-1=a-1 a·=1.【Abel 群/ 交换群】 ·适合交换律.可能不只有两个元素适合 x2=1【置换】 n 元置换的全体作成的集合 Sn 对置换的乘法作成 n 次对称群.【子群】依据 G 中的乘法运算 ·,子集 H 仍是一个群.单位子群 {1}和 G 称为平凡子群.【循环群】 G 可以由它的某元素 a 生成 ,即 G=（ a）.a 全部幂的集合 an, n=0,± 1,± 2, ⋯ 做成 G 的一个子群,由 a 生成的子群.如 G 的元数是一个质数,就 G 必是循环群.n 元循环群（ a）中 ,元素 ak 是（ a）的生成元的充要条件是（ n, k） =1.共有 （ n）个.【三次对称群】 {I（ 12）（13）（ 23）（123）（ 132） }【陪集】 a,b∈ G,如有 h∈ H,使得 a =bh,就称 a 合同于 b（右模 H）,a≡ b（右 mod H）.H 有限, 就 H 的任意右陪集 aH 的元数皆等于 H 的元数. 任意两个右陪集 aH 和 bH 或者相等或者不相交.求右陪集： H 本身是一个.任取 a H 而求 aH 又得到一个.任取 b H∪ aH 而求 bH 又一个.G=H∪ aH∪ bH∪ ⋯【正规子群】 G 中任意 g, gH=Hg.（ H=gHg-1 对任意 g∈ G 都成立） Lagrange 定理 G 为有限群,就任意子群 H 的元数整除群 G 的元数.1 有限群 G 的元数除以 H 的元数所得的商,记为（ G：H）,叫做 H 在 G 中的指数, H 的指数也就是 H 的右（左）陪集的个数.2 设 G 为有限群 ,元数为 n,对任意 a∈ G,有 an=1.3 如 H 在 G 中的指数是 2,就 H 必定是 G 的正规子群.证明：此时对 H 的左陪集 aH,右陪集 Ha,都是 G 中元去掉 H 的所余部分.故 Ha=aH.4G 的任意多个子群的交集是 G 的子群.并且, G 的任意多个正规子群的交集仍是 G 的正规子群.5 H 是 G的子群.N 是 G 的正规子群. 命 HN 为 H 的元素乘 N 的元素所得的全部元素的集合, 就 HN 是 G 的子群.【同态映射】 K 是乘法系统, G 到 K 的一个映射 σ （ ab） =σ （ a） σ （ b）.设（ G, * ）,（ K, +）是两个群,令 σ ： x e, x G,其中 e 是 K 的单位元.就 σ 是 G 到 K内的映射,且对 a,b G,有 σ（ a*b ） =e=σ（ a）+ σ（ b）.即, σ 是 G 到 K 的同态映射, G～σ （ G）.σ （ G）={e}是 K 的一个子群.这个同态映射是任意两个群之间都有的.【同构映射】 K 是乘法系统, σ 是 G 到σ（G）上的 1-1 映射. 称 G 与σ（ G）同构, G G′.同构的群或代数系统,抽象地来看可以说毫无差别. G 和 G′同态,就可以说 G′是 G 的一个缩影.【同态核】 σ 是 G 到 G′上的同态映射,核 N 为 G 中全部变成 G′中 1′的元素 g 的集合, 即 N=σ -1（ 1′） ={g∈ G∣ σ（ g） =1′ }.N 是 G 的一个正规子群.对于 Gˊ的任意元素 aˊ, σ -1〔aˊ 〕={x|x ∈ G ,σ 〔x〕= aˊ}是 N 在 G中的一个陪集. Gˊ的元素和 N 在 G 中的陪集一一对应.设 N 是 G 的正规子群.如 A, B 是 N 的陪集,就 AB 也是 N 的陪集.【环】 R 非空,有加，乘两种运算a+b=b+a2） a+（ b+c） =（ a+b） +c, 3）R 中有一个元素 0,适合 a+0=a,4）对于 R中任意 a,有-a,适合 a+〔-a〕=0, 5）a（ bc）=（ ab） c,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载6）a（ b+c） =ab+ac,（ a+b） c=ac+bc.交换环：乘法适合交换律 ab=ba .含壹环： R 不只有一个元素且有一个元素 1 适合 1a =a1=a.1 不为零.无零因子环：不含 a, b R, a≠ 0, b≠ 0,但 ab=0, a, b 为零因子.又叫消去环.消去环： 消去律成立.不为 0 的元素在加法下的周期或为 0 或为质数.整区：有壹无零因子的交换环.体：假如去掉 0,环 R的其余元素作成一个乘法群.体有壹而且无零因子,其中任意非零元素有逆.域是交换体. 单纯环： R 除自己和 {0}外没有别的抱负.【子环】 环 R 的非空子集 S 在 R 的加法和乘法下仍是环. 如 a∈ S,b∈ S,就 a-b∈ S;如 a∈ S, b∈ S,就 ab∈ S. 对于乘法群,其壹恒与子群的壹一样.但对于环,其壹却未必与子环的壹一样.【抱负】环 R 的子集 N 〔抱负子环 〕N 非空.如 a∈ N, b∈ N,就 a-b∈ N;如 a∈ N,х ∈ R,就 aх∈ N,х a∈N.1 抱负确定是子环,但子环未必是抱负. 2 任意体 R 只有平凡抱负.3 设 R 是有壹的交换环 ,a∈ R,就 aR={ar|r ∈ R}是 R 的抱负,且包含 a.【主抱负（ a）】R 是有壹的交换环, a∈ R,就 aR 称为由 a 生成的. 〔0〕={0},〔1〕=R. 环 R 的主抱负（ a）是 R 中包含 a 的抱负中最小的抱负.【合同】设 R 是环, N 是抱负. a, b∈ R,假如 a-b=n∈ N,或 a=b+n, n∈ N,就称 a 和 b 模N 合同,记为 a≡ b（ mod N ）.在环 R 中,对于模 N,有：反身性： a≡ a;对称性：如 a≡b, 就 b≡ a;传递性：如 a≡b, b≡c,就 a≡ c;加法同态性：如 a≡ b, c≡ d,就 a± c≡ b±d.乘法同态性：如 a≡ b,c≡ d, 就 ac≡bd.【环同态】 R 是环, S 有加乘两种运算, R 到 S 中的一个映射 σ （a+b） =σ（ a） +σ （ b）, σ（ ab） =σ （ a）σ （ b）.R 到 R′同态,记为 R～R′.【环同构】 σ 是环 R 到系统 R′上的一个一对一的同态映射. R 与 R′同构 ,记为 R R′.如σ 是 R 到 S 中的一个同态映射 ,就 R 的映象 R′ =σ（ R）也是一个环 ,σ （0）就是 R′的零0′,σ 〔-a〕=-σ（ a）.如 R 有壹而 R′不只有一个元素 ,就 R′有壹而且 σ（ 1）就是 R′的壹 1′ ;如 a∈ R 有逆 ,就σ （ a）在 R′中有逆而且 σ 〔a-1〕就是 σ 〔a〕-1.【抱负】同态映射 σ的核 N是 R的一个 ~.设 a′是 R′的任意元素 ,就 a′的逆映象 σ -1〔a′ 〕={a∈R∣ σ 〔a〕=a′ }是 N 的一个剩余类.1 依据剩余类的加法和乘法, R 对于抱负 N 的全部剩余类的集合 R∕ N 是一个环,2 规定σ （ a） = a+N,就 σ 是 R 到 R∕ N 上的一个同态映射,其核为 N.R∕ N 叫做 R 对于 N的剩余环3 设环 R 同态于 R′： R～ R′于是 R 与 N 之间的子环与 R′的子环一一对应,大环对应大环,小环对应小环,抱负对应抱负.【极大抱负】 N R,而 R 与 N 之间没有别的抱负.极大抱负不唯独如 N R,就 N 是 R的极大抱负必要而且只要 R∕ N 是单纯环.【域】任意有壹的交换的单纯环.任意域 F 是有壹的交换的单纯环.设 R 是有壹的交换环, N 是 R 的抱负.于是, R∕ N 是一个域,必要而且只要 N 是一个极大抱负. 任意域 F的特点 P 是零或一质数.【最小域 / 素域】没有真子域的域,特点 P 的最小域为 R 〔p 为 0 或质数 〕.设 p 为质数或等于 0,特点为 p 的任意域 F 包含 Rp 为其最小子域.域 F 上х 的多项式作成的环 F[х ] 是一个【整区】 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载【多项式】 1 以х -α 除 .〔х〕所得的余式等于 .（ α ）. 2 х -α∣ .〔х〕,当且仅当 α 是 .〔х 〕 的根. 3 说α是非 0 多项式 .（ х ）的 k 重根,假如（ х-α ） k∣ .（х ）,（х -α ） k+1 不整除 .（ х ）. 4 如α 是特别数多项式 .（х ）的 k 重根, 就它至少是 .′（ х ）的 k-1 重根.5α是 .（ х ）的重根,当且仅当它是 .（х ）和 .′（ х ）的公共根. 6 复数域上任意特别数多项式必有根.7 实数域上,质式只能是一次式或二次式.二次式 aх 2+bx+c 是质式,当且仅当判别式b2-4ac<0.设 .（ х）= a0х n + a1х n-1 ⋯+ an 是整系数多项式, 如对质数 p,p 不整除 a0,p∣ a1,⋯, p∣ an, p2 不整除 an,就 .（х ）在有理域上【不行约】 .设 .（ х） = a0х n + a1х n-1 + ⋯+ an 是整系数多项式.如有理数 b∕ c 是 .（ х ）的根,其中 b 和 c 是互质的整数,就 b∣ an,c∣ a0.【求有理根】 1.分别找 a0 和 an 的全部因子 ci,bj;2. 找互质对（ ci,bj ）.3.判定 ci/bj 是否为根.4. 判定重根.复数 α 称为一个代数数, 假如 α 是某个有理系数非 0 多项式的根. 如α 不是任何有理系数非0 多项式的根,就 α 称为一个超越数.复数域中恰有 n 个 n 次单位根.它们在乘法下作成一个 n 元循环群Φ1（ х ） =х -1 Φ2（ х ） =х+1Φ3（ х ） =х 2+ x + 1Φ 4（ х ）= x2 + 1х12-1=Φ 12Φ 6Φ4Φ 3Φ 2Φ 1, х6-1= Φ 6Φ3Φ 2Φ 1相除得 х 6+1 = Φ12Φ 4设 n 不是 F 的特点的倍数,并设 Φ n（ х）在 F 中有根.于是, F 中恰有 n 个 n 次单位根, 它们在乘法下作成一个 n 元循环群,其 （ n）个生成元素恰是 Φ n（х ）的全部的根.F 中的 q-1 个非 0 元素恰是全部 q-1 次单位根,而 F 的全部 q 个元素是多项式 х q-х的全部的根.F 的 q-1 个非 0 元素在乘法下作成一个 q-1 元循环群, 其 （ q-1）个生成元素恰是 Φ q-1（ х ） 的全部的根.【有限域】的元数必为 pn 的形式,其中 p 为其特点.假如同构的域看作是一样的,就对任意 q=pn 恰有一个 q 元有限域,【格】部份序集 〔L,≤）,对于任意 a,b∈ L, L 的子集 {a, b}在 L 中都有一个最大下界（记为 inf{a , b}）和一个最小上界 〔记为 sup{a, b}〕.一个序集是一个格,但是,不是全部部份序集都是.设（ L,≤）是格 ,S 是 L 的子集 ,即 S L,假如（ S,≤）是格,就称（ S,≤）是格（ L,≤） 的【子格】.设 L 是一个集合 ,×, 是 L 上两个二元代数运算,假如这两种运算对于 L 中元素中意： （ 1）交换律： a× b=b× a, a b=b a.（ 2）结合律： a×（ b× c）=（ a× b）× c, a （ b c）=（。