高考理科数学复习资料31配方法（讲）.doc

一、配方法的定义：配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧， 通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简如何配方，需要我们根据题目的要求，合 理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方配方法是数学中化归思想 应用的重要方法z—二、配方法的基本步骤：配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 (d+b)2 = Q2+2db+b2,具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意 要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方它主要适用于: 已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题 如：沪宀戾+C"+2X令+($—($+*(’+$ +4ac-b2~~49 9 b ° b b ° b ° b 7y = cix^ + bx + c = H— x) + c = ci[x^ + 2x — x + (—)~ — (—) ] + c = ci^xH )〜a 2a 2a 2a 2a三. 常见的基本配方形式可得到各种基本配方形式，如：圧+皿曲-加珂61-贰+kb ;cr +ab + b2 =(ci+b)2 -ab=(a-b)2 +3ab =a1 +b2 +c2 +ab + bc + ca=-[(a + b)2 +(b + c『 +(c + a『]；2a2 +/?2 +c2 =(a + b + c)~ 一2(ab + be + cci) = (a + b-一2(ab-be-ca)=…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如:1 + sinl(x=\ + Isinacosa = (sina + cosa)2 ；1、?/ I y ]x——+2 =(Vx (兀丿 ％木文就髙中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1配方法与函数二次函数或通过换元能化为二次函数的函数均可用配方法求其最值•在换元的过程中要 注意引入参数的取值范围。

例1.【2016高考浙江文数】已知函数/(%) "+滋，则“ZK0”是“f (f (力)的最小值与f(%)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】h 丹 2 t2由题意知/'(兀)=L +bx = (xH—y ,最小值为 •2 4 4h jl2 jl2令t = x2+bxf 则/(/(x)) = /(o = r+bt = (r+-)2-—A>,2 4 4Z>2当bvO时，/(/(x))的最小值为—一，所以“方能推出“/(/(兀))的最小值与/(x)4的最小值相等”；当方=0时，/(/(x)) = x4的最小值为0, /(兀)的最小值也为0,所以“ /(/(x))的最小值与/(兀)的最小值相等”不能推出ab< 0”・故选A.例2.设 圧吋，函数=*log"(")・logO ($>0,且自Hl)的最大值是1,最小值是一则日的值是【答案】-2【解析】由题意知 /(JT)= — (log^+1) • (logox+ 2)= — (loglxH- Slog^d- 2)= — (log )2 ——・2 2 2 2 81 3当 f(x)取最小值一一时〉log』=——•又Tjt€ [2,8], 1).8 2•・'f(x)是关于log/的二次函数 >・••函数f(X)的最犬值必在X= 2或x= 8时取得.若 ^0oga24-^)2-|=b 则尸2^,此时 f(x)取得最小值时，X=(2_1)_I=V2«[2J8],舍去.2 2 8若(loga8 + |)2- 则尸 J此时Hx)取得最小值时，戶(护=2仗€[2,8],・・・尸二2 2 8 2 2 22配方法与三角函数在三角函数中，同角三角函数基本关系式中的平方关系sin2^ + cos2x = 1及其变形(sin % ± cos %)2 =l±2sinxcosx、二倍角公式及其变形cos2x = l-2sin2 x = 2cos2兀一1为考察配方法提供了平台，例3函数y = cos 2x + 2sin x的最大值为 .【答案】-2【解析】y = cos2x+2siux = l —2sic2x4-2sinx = —2(sin2x —sin x) + l = —2(siux——)2 +2x —+ 12 4i □ i a=-2(sin jc-牙尸+ 因为-1兰sin 1 ,所以当sinx = — ?尸取最大值〉最大时为亍3配方法与解三角形在解三角形中，余弦定理为考察配方法提供了平台，因为对于三角形的三边，如果能用一 个变量给表示出来，就可以转化为二次函数问题，可以通过配方法来解。

例4.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°, AB^AC的长度均大于200米，现在边界AP^AQ处建I韦I墙，在P0处围竹篱笆.(1) 若围墙AP.AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2) 己知4P段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？【答案】(1)当AP = IO0米，人0 = 100米时，可使三角形地块4P0的面积最大；(2)当 AP = — 米，AQ二型米时，可使篱笆最省.7 7【解析】设 AP = x 米，AQ = y X.(1)则 x+ y = 200. AAPQ 的面积=2500^3 •\x= y当且仅当彳 ，即x=y = l0 0时，取“=”.即当AP = IO 0米，A0 = 1OO米时，可[x+y = 200使三角形地块APQ的面积最大.(2)由题意得100x(lEk + 1.5Jy) = 20000,即x + 1.5y = 200,要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2 = x2 + y2 -2xycos 120 = x2 + +厂=(200-1.+)，+(200-1.5y)y1.75/-400^ + 40000 = 1.75…、，1200007丿 7有最小值型姮，此时*二型,・・.当ap二型米，AQ = — 米时，可使篱笆最省.7 7 7 74配方法与向量例5.【2016江西南昌一模】已知抛物线C:x2 =4y的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与UULU UUU1 抛物线相交于M, N两点.设直线1是抛物线C的切线，且1〃MN, P为1上一点，则PM • PN的最小值为 .【答案】一14【解析】设/ : F = 代入抛物线方程，得疋—4x-4b=0,因为/与抛物线相切，所叹y=x+l宀4y△ =16 + 16X0,解得所以J : y=x-l.由抛物线的方程，知所以抵•：歹=工+1・设得疋_牡_4=0,所以西+花=4,坷花=-4,所以PN = (x2-m2y2-m^Y) ?所臥” +乃=6,”巾=1 •设尸（朋,用一1人则PAf =（西一憾必一朋+ 1）， ■■ 2PM^PN = (jq —tm/xj — tm) + (J】一羽+ 1)(旳一曲+ 1)二 西花—曲(西 +花)+朋 + yxy2 +(1 —祝Xx + y2)+(1 —朋)2 = %沪_6初+ 2) = 2[(血—3)2 — 7] n —14 ,所以議莎的最小值为一 14.5配方法与不等式例6.【广东省惠州市2017届第二次调研】若直线2ax-by + 2 = 0 （g>0, b>0）经过圆。

° 1 1x2 + y2+2x-4y + l = 0的圆心，则一+ —的最小值为 .a b【答案】4【解析】圆心坐标为（-1,2）,=>2d — 2b + 2 = 0=>d + Z? = l n= (d + b) —+a~b)= 2 + - + ->2 + 2 = 4. a b6配方法与导数x2 +x + a,x<0,的图例7.【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考】已知函数f（x） = 1象上存在不同的两点A , B,使得曲线y = f（x）在这两点处的切线重合，则实数0的取值范围是（）B. (25+oo)D.(〜,2)叫,+8)A. （-°°，2）4C・（-2,—）4【答案】c【解析】当兀＜0 时，/（x） = x2+x+« 的导数为 /F（x）= 2x4-1；当 XAO 时，f（x） = --的导数为 fr（x） = \ ,设 X X念i，/（西）），月区，/（乃））为该函数图象上的两点"且＜^2?当西＜花＜0,或0＜西 ＜花时，/'（西）工/‘（花），故西＜0＜花，当西＜0时，函数/（丸）在点X^：/（^））处的切线方程为 尹-（#+画+4=（2羽+ 1）（兀-羽）；当花＞0时，函数才（丸）在点5（^2,/（XJ））处的切线方程为1 1 1 7p + —=~2（^~ ■两直线重合的充要条件是2Xj +1 = — ® ?—一 =—分+d②，由①及＜0 ＜^2得花 花 Xj Xj0 ＜— ＜1 由①②得。

2 1―,令t = — ,则0<^<1,且-?--| 一2才=丄尸一丄尸一2『+丄，设应@） = 1严一丄”一2『+1 ,（0＜/＜1）,贝|」丹（0=戸一—2,2 2; 4 2 4 4 2 4结合三次函数的性质可知，^（/）=?-/-2＜0在0＜丈＜1恒成立，故单调递増，即h^＜a＜^｝f 即-2s 可得函数/（刃的图象在点丛月处的切线重合，的取值范围是（-2丄）・故选：C.4 47配方法与数列例8.数列｛加中，如果存在弘使得比＞a—且禺〉禺+】成立（其中k22, WWNO,则称禺为 数列&｝的峰值.若禺=一3/+15刀一18,则｛/｝的峰值为（ ）13 16A. 0 B. 4 C. — D.—O O【答案】A5 3【解析】 因为日”=—3（n ）2 +~,且〃WN",所以当n=2或/?=3时，日〃取最大值，最大值为况=角=0.故选A.8配方法与立体几何例9. [2016届•杭州二模】已知菱形力风刀的边反为于，ZABC=60° ,将菱形昇风刀沿对角 线折成如图所示的四面体，点财为/C的中点，ZBMD=60Q , P段必『上，记DP=x,PA+ PB= y,则函数y=f（x）的图象大致为（ ）【答案】D【解析】由题意可知曲扌近#,盼g,— 在 肮△曲P中，丹1=寸1齐血=在△闕中,由余弦定理得商+亦一 2爾・60° = 一丸+1 ,- + (l-x) +£ + (兀一空)2 (OWxWl)•.•当。

£弓时，函数理调递减，当4时，函数理调递増，.••对应的图象为D.9配方法与解析几何例10.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知点C的坐标为(1,0), A,B是抛物线于=兀上不同于原点O的相异的两个动点，且丙丽 =0(1)求证：点A,C,B共线;(2)若亦=砌(為/?),当OQOAB = 0时，求动点Q的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)r nX——I 2丿2+八扣工0).【解析】01）设，（珞专）》"（号心），（专 H右H H0）'贝U=（W'*1）QB =（琅片J〉因为OA^OB = 0 ,所以柯+年2 = 0,。