历年浙江省高等数学微积分竞赛-工科类试题.doc

04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一． 计算题（每小题15分，满分60分）1． 计算：解: 原式 其中原式.①在课堂上作为一个典型的例子;②2． 计算：解: 原式.其他想法: 原式后者, 看来做不下去了!!!3． 求函数在上的最大、小值解: ①在圆内(开集), , 解得驻点, 但不在圆域内.②在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题.解得: 驻点,故最大值为, 最小值为.4． 计算：，其中这题不能用对称、奇偶性等性质来做！二．（本题满分20分） 设，求.解: , 则,则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:,令,得:,而,则 .三．（本题满分20分） 设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算解: 方程两边对求导得: , 则, 直线段的方程为: 令,,则, .四．（本题满分20分） 设函数连续，，且，试证明：，证明: ①由于, 故, 无论怎么分、怎么取，存在且相等， 即，由于连续，故，；（理由说的不够充分）②假设存在，使得，不妨设，则，由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然，而与矛盾，故假设错误，即，。

五．（本题满分15分） 判别级数的敛散性解：斯特林公式：极限形式：.故收敛.判别的敛散性: 证明: (1) 证明, 即1) 当, 显然成立;2) 假设时也成立,即;3) 当时, 而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个)., 而, 由夹逼定理得: .,而收敛, 由比较判别法得: 也收敛.六．（本题满分15分） 设函数在上连续，证明：，证明: .许瓦兹不等式:①有限项情况:, (乘积和的平方小于等于平方和的乘积)②可推广到可数情况: ;③均值的形式: ;④积分的形式: 2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题（每小题12分满分散60分）1． 计算2． 设可导，求常数的值3． 计算4． 计算5． 求函数的值二、 （本题满分20分）设在点二阶可导，且，求和的值三、 （本题满分20分）证明：当时，四、 （本题满分20分）设，试比较A，B，C的大小五、 （本题满分15分）设（1） 求；（2） 证明数列单调减少六、 （本题满分15分）对下列分别说明是否存在一个区间使，并说明理由1） （2） （3）2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答一．1. 解 .2. 解：， ，因为在处连续，所以，， ，由在处可导， ，于是.3. 解：.4. 解：， ，，，， .5. 解：当时，；当时，；当时，；当时，.二． 解：；；， ，所以.三． 证明：令，；因为，；，； ，，所以，进而，，即得，.四． 解： ； ，由于，得，，利用，，得，于是，故.五、设，.（1） 求； （2）证明数列单调减少.解：（1）显然 故有 .（2） ， ，于是数列单调减少.六． 解：（1），在上严格单调递增，欲使，必有，.考虑，，，，，所以存在区间，使.（3） 在上严格单调减少，欲使，必有，.，，所以存在区间，，使得.（4） 在上严格递增，欲使，必须，.，，，此方程无实数解，故不存在区间，，使得. 2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、 计算题（每小题12分，满分60分）1、计算.解: 。

2、求.解: .3、求.解: .4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.解:令则,,令所求平面方程为: ,在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则在曲面上取一点,则切平面的法向量为,则.解得: 即所求平面方程为: .二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解: 当, 当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解: 当时, 故中的系数为.四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线.解： 而,,,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性 由于,则, .充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;即只需证明: ,而,故只要说明: ,即,当时,显然成立;假设当时,也成立,即;当时, . 六、(15分)求最小的实数,使得满足的连续函数都有.解: , 取,显然,而, 取,显然,而, 故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题（每小题12分，满分60分）1、求.解: 2、求.解: .3、求的值,使.解: 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（1） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解: :旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,,,,,,,,,,;在圆周上,由条件极值得:令解得: ,,, ,,,,,,,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,,,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 六、(15分)已知二阶可导,且,,,(1) 证明:.(2) 若,证明.证明: (1) 要证明,只需证明,也即说明是凹函数,, ,故是凹函数, 即证.(2) ,即: .2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) 一.计算题1、求.解: 。

2、计算.解: 法二：，令3、设，求.解: ,则，则 被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: , 解得: .4、计算.解: , 其中如右图.5、计算,其中为圆柱面.解: 被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求: (1);(2) .解: (1), ;(2) (图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：（3） 通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（4） 此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积. 解: :旋转曲面上任意取一点则的坐标为： ， 化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为： .四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.解： 由于具有轮换对称性,令, 或解得驻点: 或对, ,在圆周上,由条件极值得:令解得: ,,,,,,,,,,;在圆周上,由条件极值得:令解得: ,,, ,,,,,,,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数的系数满足,,,求此幂级数的和函数.证明： 而,即: 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法, 求的通解: ,令代入得:,即: 故的通解为: ,由于,解得, 故的和函数. 法二：，同学们自行完成。

六、(15分)已知二阶可导,且,,,(3) 证明:.(4) 若,证明.证明: (1) 要证明,只需证明,也即说明是凹函数,, ,故是凹函数, 即证.(2) ,即: .2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限解 =====2．计算不定积分解 ==3．设，求解 =4．设，，求此曲线的拐点解 ，，令得当时，，当时，，当时，，因此拐点为5．已知极限，求常数的值解 == =1于是，由，得另解 ＝1二、（满分20分）设，证明：当时，证 设则，，由且，知当时，又设则，所以,从而,不等式得证.三、（满分20分）设，求的最小值证 当时，，，，故当时单调增加；当时，，故当时单调减少； 当时，，=当时，，当时，， 故是的极小值点，又=，故。