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扬州大学 硕士学位论文 秩为1的无限维Pointed Hopf代数 姓名：尤兰 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：陈惠香 20090401 尤兰秩为I 的无限维P o i n t e dH o p f 代数 秩为1 的无限维P o i n t e dH o p f 代数 中文摘要 设H 是域七上一个H o p f 代数，H 0 ∈q ∈／4 2 ≤⋯是日的余根滤链，H 0 是日的H o p f 子代数．当日作为代数可以由B 生成时，K r o p 和R a d f o r d 在文[ 1 3 】中定义了日的秩，用来 度量日的复杂度，并对特征为0 的代数闭域上的秩为1 的有限维p o i n t e dH o p f 代数进行了 分类．本论文主要研究了两类无限维p o i n t e dH o p f 代数，说明了它们的关系．我们首先讨 论了群代数上的H o p f O r e 扩张的秩，其次又对秩为1 的无限维p o i n t e dH o p f 代数进行了分 类． 第一节，我们介绍了本文需要的关于H o p f 代数、H o p f 代数的秩和H o p f O r e 扩张的一 些基本概念和结论． 第二节，取k G ( x ，a ，艿) 为群代数舱上的H o p fO r e 扩张，通过分析蜀的结构，我们研 究了H 的秩．证明了当z ( a ) 是n ( n ≥2 ) 次本原单位根时，H 1 = 1 4 0 + H o x + H o x ”，即日的 秩为2 ；否则，H 。

砜oH o x ，即日的秩为1 ． 第三节，设日是秩为1 的无限维p o i n t e dH o p f 代数，G = G ( H ) 为日的群样元集．我们 证明了一定存在a ∈G ，x ∈H V - I o ，使得a ( x ) = x @ a + l @ x ，从而有H l = H o o H o x ．另外 也证明了日恰好是余根硒上的H o p f O r e 扩张． 根据参数的不同，在第三节中将H 分为三种类型．在第四节，我们选择第三种类型研 究了日的表示．当G 是交换群时，我们证明了：当fZl 一∞时，任何有限维单的H ．模是权 模且是1 维的；当lzI = n ∥＼ 尤兰秩为1 的无限维P o i n t e dH o p f 代数 C 圆C ————_ C o C 圆C C 后衫l ＼I s @ f 八◆ ＼C 圆 圆k @ g 7 一 即△满足余结合律和余单位性． 设( C ，A ，占) 是余代数．向量空间M 称为右C 一余模，如果存在映射砌：Mj M 圆C 满 足如下交换图： 1 删dr 其中砌称为M 的右C 一余模结构映射． p 憾 M ————————_ M @ C Mok 我们用M c 表示由右．C 余模和右．C 余模同态组成的范畴，同理，我们可以定义左C ． 余模与左C ．余模范畴c M ． 设( C ，A ，F ) 是余代数，( M ，砌) 是右C - 余模，( Ⅳ，肌) 是左C 一余模，我们将采用S w e e d l e r 符号，即△( c ) = ∑C I @ c 2 ，耽( 协) = ∑m 。

o 朋l ，肌( ，2 ) = E nlo n o ，C EC ，m ∈M ，刀∈N ． 设D 是C 的子空间，若A D ∈D oD ，则称D 是C 的子余代数．若C 非零且没有非平凡 的子余代数，则称c 是单的．C 的全体单子余代数的和称为C 的余根，记为C 0 ．若C 的每 个单子余代数都是一维的，则称C 是p o i n t e d 余代数． 由C o 开始，我们可以归纳定义c 的子空间e = △，1 ( c 固G 一 C oo c ) ，，z ≥1 ． 定理1 ．2 ．【1 6 ，定理5 ．2 ．2 】每个G ，n ≥0 ，均是C 的子余代数且满足 ( 1 ) G 冬e + l ，C = U 脚q ， ( 2 ) △( e ) ∈∑e 一，圆q ． p 讼 r ∞忪上 △一 ～ 扬州大学硕士学位论文 8 一 设{ 圪) l ，z ≥o ) 是c 的任一簇子空间，若其满足定理1 ．2 中的条件( 1 ) 和( 2 ) ，则称 { K 帕Jn ≥o ，为C 的余代数滤链． 定义1 ．3 ．设( B ，m ，∥) 是～个代数，( B ，A ，s ) 是个余代数，若下面的两个等价条件之一 成立： ( 1 ) △和s 是代数同态， ( 2 ) m 和∥是余代数同态． 则称( B ，m ，／a ，A ，F ) 为双代数． 设C 是余代数，若g eC 满足△( g ) = g o g ，则称g 为群样元，C 中全体群样元的集合 记为G ( O ．设g ，heG ( C ) ，若c ∈C 满足△( c ) = c 圆g + h 固c ，则称c 为( g ，办) ．斜本原元．C 中全体( g ，厅) - 斜本原元的集合记为足，。

c ) ．特别地，当C 是双代数且g = h = l 时，称c 为 本原元，足 c ) 简记为P ( c ) ． 定义1 ．4 ．设( H ，m ，∥，A ，s ) 是双代数，如果存在一个映射S ∈H o m H ，日) ，使得 ∑( ·趴) 吃= 占( 办) 1 日= ∑啊( ．S 绝) ，V h ∈H ，则称日是H o p f 代数，S 称为H 的反极元． 定义1 ．5 ．设Ⅳ是一个H o p f 代数，M 是一个向量空间，若M 满足 ( 1 ) M 是左日一模， ( 2 ) M 是左日- 余模，其余模结构映射为p ：M 专H0M ， ( 3 ) p 是左日- 模同态，其中H @ M 的左H ．模作用由下式给出 g ·( 忍圆聊) = ∑9 1 h @ 9 2 - m ，V m ∈M ，h ，g ∈日， 则称M 是～个左日一H o p f ；t 莫．记全体左日- H 叩f 模及H o p f 模同态构成的范畴为n M ． 定理1 ．6 ．( H o p f 模基本定理) [ 1 6 ，定理1 ．9 ．4 】设M ∈H HM ，则有左H ．模同构 M 兰H @ M o U ，其中M 础= { 聊∈Mp 沏) = l 圆历) ，日@ M 础是平凡的H o p f ：模，即余模 作用为p = △圆耐，模作用为g ·( 办圆聊) = ∑g h 圆m ，V m e M c 。

H ，h ，ge 日．特别地，M 是自由的左日一模，秩为d i m M 蒯． 令日是域七上的双代数，假定％) ∈K ，) ∈K ：) ∈⋯是日的子空间的一个升链，且满足 尤兰秩为1 的无限维P o i n t e dH o p f 代数 9 一 △( K ) ) ∈盖K ，，) 圆K ，) ，刀≥o ，则K ) 是Ⅳ的子余代数，因此矿= 旦圪) 是日的子余代数， 即这个升链是y 的余代数滤链． 将日看作是余乘法下的正则左日．余模，则H 的所有子余代数是H 的左子余模．取 K - 1 ) = 0 ，令Q [ ) = K ) ／v , 川) ．因为△( K ) ) ∈K ) oK ) + K 帕@ K 肛，) ，所以每个Q ( ) 均是K 0 ) 上 的左余模． 假设K ) 还是日的子代数，则K = K o ) 是Ⅳ的子双代数，通过左乘，H 可以看作是一个 左K - 模，假设K ) ，力≥0 ，均为H 的K 一子模，则Q ( ) 同时有一个左K - 模结构和一个左K - 余模结构，从而成为一个左K - H o p f 模，现在假定K 有一个反极元，即K 是一个H o p f 代 数，则根据H o p f 模基本定理可知Q ( 。

) = 0 或Q ( ) 是一个自由的左K - 模，且向量空间 媒) = 扛∈Q ( ) I 段) ( z ) = 1 p z 中任一组霓一基都可作为Q ( ) 的一组K 一基，因此K 帕是自由的左 K ．模，从而y 是自由的左K ．模． 设M 是一个自由左K ．模，k 作为平凡的右K ．模，则M 中任一K ．基底所含元素的个 数均为D i m ^ ( 七p 胃M ) ，这也说明了如下结论． 命题1 ．7 ．每个H o p f 代数都是一个基数不变环，即为I B N 环． 特别地，设H 是一个H o p f 代数，H o ∈H 互皿￡⋯是H 的余根滤链，并设H 0 是H 的 子H o p f 代数，则每个q 均是自由的H 0 一模．从而有如下定义． 定义1 ．8 ．[ 1 3 ] 设日是一个H o p f 代数，H o ∈H 1 ￡H 2 ∈⋯是日的余根滤链，并设风 是H 的子H o p f 代数．如果H 作为代数由H l 生成，且D i m ( ko ％H I ) = n + l ，则称H 是秩 为n 的H o p f 代数． 下面我们给出分次代数和分次H o p f 代数的定义，本文讨论的分次均为N - 分次． 设彳是一个代数，如果彳= 虽4 f ) 是向量空间的直和分解，使得1 ∈4 0 ) 且4 D 4 D ∈4 州) ， V i ，J ≥0 ，则称A 是一个( N - ) 分次代数． 设c 是一个余代数，如果c = 辩。

) 是向量空间的直和分解，使得s ( c ( ) ) = o ，V 门 o ， 且△( C ( ) ) ∈砉C ( 州) q ，) ，V 刀≥o ，则称c 是一个( N _ ) 分次余代数·显然，G ( c ) ∈C ( o ) ． 设H 是一个双代数，如果H = 舀q ) 既是一个分次代数又是分次余代数，则称Ⅳ是一 扬州大学硕士学位论文 1 0 个分次双代数． 设日是一个H o p f 代数，若H = 西q ) 是一个分次双代数，且反极元s 保持分次，即 一= U s ( 且) ) ∈q 矿，z ≥o ，则称日= 垒q ) 是一个分次H p f 代数· 1 ．2 ．H o p f O r e 扩张 设彳是k ．代数．令f 是A 的代数自同态．若线性映射万：A 专A 满足 6 ( a b ) = 万( 口) 6 + f ( 口) 万( 6 ) ， V a ，b ∈A ， 则称万为f ．导子． 设4 y 】是A 上的一元多项式构成的线性空间，规定 y a = f ( 口) y + 8 0 ) ，V a ∈A ， 其中f 是代数A 的自同态，万是彳的f 一导子，则A [ y 】成为一个k 一代数，称为彳的O r e 扩张， 记为A [ y ；r ，万】，设彳有k - { a tf ∈，) ，则彳的O r e 扩张的七一基为{ a y 7i ∈，，J ∈N } [ 1 5 】． 定义1 ．9 ．设A 和A [ y ；r ，万】是H o p f 代数．如果A ( y ) = y o r + l 圆y 且彳是A [ y ；r ，6 】的 H o p f 子代数，其中，．是彳中的某个群样元，称A [ y ；r ，艿】是A 的H o p f O r e 扩张． 注：这里H o p fO r e 扩张的定义与文[ 1 8 1 中的定义不一致，在文[ 1 8 ] 定义1 ．0 中要求 A ( y ) = y @ l + r Q y ，因此本节后面结论也与文【1 8 】中相关结论不完全一致． 显然，如果R = A [ y ；r ，万】是A 的H o p f O r e 扩张，则e ( y ) = ogs ( y ) = 一y r ～，其中S 是尺 的反极元． 在文【1 8 ] 中，P a n o v 给出了A [ y ；r ，艿】构成H o p f O r e 扩张的充分必要条件． 定理1 ．1 0 ．[ 1 8 ，定理1 ．3 ] H o p f 代数R = A [ y ；r ，万】是H o p fO r e 扩张当且仅当以下条件 成立： ( 1 ) 存在A 上的特征z ：A 专k 使得f ( 口) = Z a l z ( a 2 ) ，V a ∈A ， ( 2 ) 对任意aEA ，E a 。