高一数学导学案（解析版）：湘教必修1第1章1.2.8　二次函数的图象和性质——对称性.doc

1.2.8　二次函数的图象和性质——对称性学习目标重点难点1．能说出奇函数和偶函数的定义；2．会判断具体函数的奇偶性；3．会分析二次函数图象的对称性；4．能求一个二次函数在闭区间上的最值.重点：知道奇函数、偶函数的定义，会判断函数的奇偶性，能运用奇偶性解决简单的问题．难点：二次函数的区间最值问题.1．函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．预习交流1奇函数和偶函数的定义域具有什么特点？提示：奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件．若一个函数的定义域不关于原点对称，则它一定是非奇非偶函数．预习交流2如果一个函数是奇函数，且在x＝0时有定义，那么能否求得f(0)的值？提示：必有f(0)＝0.因为f(－0)＝－f(0)＝f(0)，从而f(0)＝0.预习交流3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：存在．所有定义域关于原点对称，解析式经化简后为零的函数既是奇函数又是偶函数，例如：y＝＋，y＝＋等就是既奇又偶函数．2．二次函数图象的对称性(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－；(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s＋h)＝f(s－h)，那么f(x)的图象关于直线x＝s对称．预习交流4二次函数图象的对称轴与二次函数的单调性、最值有何关系？提示：二次函数的单调性与对称轴有关，在对称轴两侧的单调性恰好相反；二次函数的最值恰好在对称轴处取得，若开口向上，则在对称轴处取最小值，反之取最大值．一、函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；(3)f(x)＝x2＋；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝＋.思路分析：根据定义判断函数的奇偶性时，首先看定义域是否关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提；然后判断表达式f(－x)与f(x)之间的关系，若总满足f(－x)＝－f(x)，则为奇函数，若总满足f(－x)＝f(x)，则为偶函数．解：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数；(2)函数定义域为R，且f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)，所以该函数是偶函数；(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(4)函数定义域是{x|x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(5)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f(x)＝0.所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝(x2－1).解：(1)函数定义域为R，且f(－x)＝＝＝－f(x)．故该函数是奇函数；(2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)．故f(x)是偶函数．(3)函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．1．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2．判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果．二、函数奇偶性的简单应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)．A．－3 B．－1 C．1 D．3(2)若函数f(x)＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝__________.思路分析：对于(1)，可根据f(x)是奇函数得f(1)＝－f(－1)，而f(－1)的值可代入解析式求值；对于(2)，可按照奇函数的定义求解．也可由f(0)＝0求得a的值．答案：(1)A　(2)0解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3.又f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A．(2)(方法一)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立，即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立．所以a＝0.(方法二)因为f(x)是奇函数且在x＝0处有定义．必有f(0)＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0.1．已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为(　　)．A．5 B．10 C．8 D．不确定答案：B解析：∵f(x)是偶函数，∴f(4)＋f(－4)＝f(4)＋f(4)＝2f(4)＝2×5＝10.2．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)．A．－2 B．－1 C．1 D．2答案：C解析：因为f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R都成立，即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)．整理得2(a－1)x＝0，∵x∈R，∴必有a－1＝0，即a＝1.1．利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(－x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化．2．已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种办法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0处有定义的奇函数，还可根据f(0)＝0求解．三、二次函数的区间最值问题已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．思路分析：对于(1)，可将a＝－1代入f(x)解析式，然后配方，写出最值；对于(2)，由于a的值不确定，f(x)图象的对称轴不确定，那么f(x)在[－5,5]上的单调性就不确定，因此要对a的值分类讨论才能求出相应的最值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为1∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图(1)所示．由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a；③当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上递减，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.求函数f(x)＝－x2－mx＋6(m＜0)在区间[0,2]上的最大值．解：f(x)＝－x2－mx＋6＝－2＋＋6，该函数曲线开口向下，对称轴为直线x＝－.(1)当－＞2，即m＜－4时，f(x)在[0,2]上单调递增，其最大值为f(2)＝2－2m.(2)当0＜－≤2，即－4≤m＜0时，f(x)在[0,2]上的最大值为f＝＋6.1．对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解．2．若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域．1．下列函数为奇函数的是(　　)．A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝ D．y＝－x2＋4答案：C解析：A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C．2．对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断：(1)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；(3)若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中正确的判断的个数是(　　)．A．0 B．1 C．2 D．3答案：B解析：(1)仅有f(－2)＝f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误；(2)当f(－2)≠f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(2)正确；(3)若f(－2)＝f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数．如若f(x)＝0，x∈R，则f(－2)＝f(2)，但函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数，故(3)错误．3．函数y＝·(　　)．A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数 D．是非奇非偶函数答案：D解析：函数定义域是{x|x≥1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D．4．函数f(x)＝－2x2＋x－1在区间[－1,2]上的值域是(　　)．A． B．[－7，－4]C． D．答案：C解析：由于f(x)＝－2x2＋x－1＝－22－，而∈[－1,2]，所以f(x)最大值是f＝－，最小值为f(2)＝－7，故值域为，故选C．5．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝__________.答案：8解析：∵f(x)为区间[3－a,5]上的偶函数，∴区间[3－a,5]关于坐标原点对称，∴3－a＝－5，即a＝8.。