师范-反例在数学分析中的应用.doc

题 目: 学 院: 专 业: 班级序号: 学 号: 学生姓名: 指导教师:Liaoning Normal University（2014 届）本科生毕业论文（设计）反例在数学分析中的应用 数学学院数学与应用数学（师范）3班19号20101122020055施洋刘泽庆2014年5月.1.1.1.2.2.2..3“4"4..5..71111111213摘耍(关键词) Abstract (Key words) .、/ ▲. -1-*s 1. 反例的构造方法 l.i特例构造法 1.2类比构造法 1.3性质构造法 2. 数学分析中的常见反例及其应用....2.1微积分中的的反例 2.2无穷级数中的反例 2.3函数一致连续性的反例 3. 反例在数学分析教学中的应用........3.1利用反例加深对概念的理解.....3.2利用反例帮助正确掌握定理.....3.3利用反例培养逆向思维的能力参考文献 致 谢反例在数学分析中的应用摘要：在数学分析中存在大M的反例，它能帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，推 动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成反例思想是数学分析中的重要思想，木 文主要介绍了构造反例的方法，阐述了反例在微积分、无穷级数和函数一致连续性方面的 应川，以及在数学教学中的应用。

恰当的运川反例，对于更好的学习数学分析知识，培养 我们逻辑思维能力，起着十分熏要的作用关键词：反例；微积分；无穷级数：一致连续；数学教学Abstract: The existence of a large number of counterexamples in mathematical analysis can help people to deeply understand the nature of mathematical objects and promote the development of mathematical sciences and the formation of human bcingsMialcctical thinking mode. Counterexample thought is an important thought in mathematical analysis. This article mainly introduces methods of constructing the counterexample; cited the applications of counterexample in the calculus，infinite series and uniformly continuous function and its application in mathematics teaching. The appropriate use of counterexamples plays a very important role in better learning the knowledge of mathematical analysis as well as cultivating our logical thinking ability.Key words: Counterexample; calculus; infinite series; uniformly continuous; mathematics Teaching刖B反例在数学分析中的应用非常广泛，反例思想在概念、性质的理解，问题的研究和 论证中都冇不可替代的作用，我们在学＞』数学知识的吋候，通常对知识的理解不是全面 和透彻的，有时候需要反例来强化和对比，冰能加深理解。

在数学学科的发展进程中， 一些著名的猜想或有漏洞的证明，也常常通过反例来解决，或从反例中得到扁示，极大 地推动了数学学科的发展木文首先介绍了构造反例的基木方法：特例构造法、类比构造法、性质构造法，并 且通过实例说明了反例在数学分析中的应用，具体如反例在微积分、无穷级数以及函数 一致连续性中的应用，在数学分析的教学过程中恰当的引入反例，冇助于加深对基本概 念、性质的理解，在培养和提高我们逆向思维能力等方面也有不可低估的作用1.反例的构造方法反例的构造是一种重要的数学技能，由于数学木身的抽象性，使得反例的构造不是 一件轻而易举的事，如果能经常进行反例构造的训炼，将有助T我们形成良好的思维品 质，提高分析问题、解决问题的能力1.1特例构造法特例构造法是抓住命题中易于找到的特殊情况，从而构造反例 定理若 lim = ，lim = /?，则 lim（x/I + ） = + /?.n—>oc /?—>oc此定理的结论可推广到有限个数列（每个数列的极限都存在）的情形，但不能推广 到无限个数列（每个数列的极限都存在）的情形例1.1= ()+() + ••• + ()=0.是否正确？解上述解法是错误的。

用到的是错误结论：无限个函数的极限等于它们的极限的 和事实上，无穷多个无穷小之和不一定为无穷小由于利用极限的夹逼性，就可以得到lim/I—n2 +1 V /r +2=1.n 一 +n1.2类比构造法类比构造法是根裾已知反例的特点与思维方法，在新的范围内造出类似的反例的方 法例1. 2 Weierstrass用振动曲线y = cosot构造提岀第一个无处可微的连续函数00y = ^bn cosan7ix.x e [- l,l]构造f I i 乂一个无处可微但i=0Vander Waerden将振动曲线改进为折线y = |x|，处处连续的函数00H=0；•來许多数学家在上述两个例子的基础上又构造了一系列无处可微但处处连续的例子， 从血解决了数学界困惑多年的问题例1.3冇限个连续函数的和足连续函数，冇限个连续函数的积足连续函数；但足无 穷个连续函数的和、无穷个连续函数的积就不一定是连续函数证明对于每个人(X),人(X)只在x =丄一个点上，有，/丄1=0,对于其它任何x " \n)所以/n(x)在％ = 0连续fn (x) = 1 关 0，005W=n,w=ZI = 10,x = l^,77 = 1,2,...l,x^-n=...=<) = ... = 0,即有无穷多个函数值为0的点，且0的任何邻域中都包含x = l及;^丄的点，所以g(x)在;v = 0间断，即无穷个连续函数的积不 n n是连续函数。

1.3性质构造法性质构造法就是根据反例本身的性质和特征，用一定的技巧构造反例的方法例1.4如果/(x),尺(*)都在〜连续，则/(x\g(x)4x0连续但是/(永⑺在％连 续，不能保证都在〜连续sinx n证明可构造反例：/(x)=0，x = 0由于v rz x v sinx , M lim f (x) = lim = 1 矣 0，x-^0 x-^0所以/(d在义=0不连续；二X在x = 0连续，而乘积 /(x)g(x) = ^^x = sinx2.数学分析中的常见反例及其应用在数学分析中，微积分、无穷级数以及函数一致连续性都占有非常重要的地位，掌 握好在这些内容中的基础知识以及基木概念、性质是及其重耍的，在学中重视和恰当 的使用反例是掌握这些内容的有效途径之一，反例在这些方面的应用是非常广泛的2.1微积分中的反例及其应用微积分中的反例有助于培养数学逻辑思维能力，为了分清条件的充分性与必要性使 用恰当的反例是非常有好处的而微积分中对于可导与连续、无穷大与无界等容易混淆 的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握例2. 1 /⑺在又：又处可导，则/(■)在x = %处是否有连续导数?解反例：函数=x2 cos-,x^OX0，x = 0在x = 0处可导，但导数不连续 事实上，•AT COS//(o) = linr’⑴-’(0) = lim = limxcos- = 0.x-Q x a-*0 x即在％ = o处可导，但当时，/(%)= 2xcos丄一x2 sin —义 x.1 in —2xcos—+ sin极限x->0x->02%cos--x2sin-=lim.r^O2xcos- + sin-不存在，即/Cr)的导数不连续。

例2. 2若函数/00在区间［A/7］上可积，贝I涵数|/(x)|在区间［0］上也可釈，且但其逆命题不成立，即当函数|/(%)|在区间上可积吋，函数在区间上不一 定可积证明反例：函数/W1，％为有理数 -1，；1为无理数*函数/00在［o，i］上不可积，而|/(%)|三1,这是常函数，显然在［o，i］上可积例2. 3 (无穷大量与无界量问题)无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量 证明反例：/(%)= XCOSX当X4 00时f (X)力无界量事实上，对无论多大的G〉0，总存在Xn = /77T，当〃〉一时，有7T|/（x, j = \n7rco$n7r =n7i > G .然而’当HOC时’若取+ r此时\f（Xn） =Z \71f \71H7T ——COSn7r + —1 2J{ 2j71=0.即/GO并不趋于例2.4 （吋微的必要条件）若二元函数/在其定义域内一点“，可微，则/在该 点关于每个G变量的偏导数都存在该定理的逆命题不成立人7bx2 + y20，证明反例：/（x,y）x2 +y2 #0 x2 +y2 =0/v（0,0）=lim /（紅0）-’⑽=limz2 = 0.Ax Ad Ax同理，fy（0,0）= 0 但是Az - 论=/（0 + Aa,0 + Ay） - /（0,0） -人（0,0）Ax - fv（0,0）Ay =AxAyP Vav2+Av因为上述极限不存在，所以在原点不可微。

例2. 5在一元函数中，若函数/在点X可导，则/在点X在二元函数中 若在某点存在对所宥CJ变量的偏导数，函数/&，＞•：）在该点一定连续吗？%）’解不一定连续反例：/（AVy） =x2 + y20，x2 + y2 关 0x2 + y2 =0在原点不连续，但却存在偏异数/x（O,O）=lim^ = O, A（0,0）= 0.2.2无穷级数中的反例及其应用在正项级数的敛散性判别中，比值判别法使用起来非常方便，但是它成立的条件是 充分而非必要的，这从下例中可看出例2. 6判别级数的敛散性H=1= 而收敛，因此级数r rw=l n=l收敛，但，ln+\ _ 2 + (- ^n+i^r_2[ 2+(-iy,)]=a.G n->cx)hma2n+l = ■.所以=⑽人不存在当然p-级数•也是一个典/I—>COH—>COn=l P型的反例，limun+l二1,但当P〉1时收敛；当/;<1时，发散在交错级数的敛散性判别中，莱布尼兹判别法使用起来非常方便，但是有些情况下 的交错级数不满足条件，例如下面的例子00例2. 7判别交错级。