初二数学几何综合题_动态(几何)综合题模板.docx

初二数学几何综合题 _动态（几何）综合题探究动态（几何）问题，关键是动静互化，其中 “静”是“动”的瞬间， 是运动过程中的一种特殊状态， 抓住瞬间的“静”就可以转化出熟悉的几何图形 . 同学们在学习研究“形”动的过程中更要有积极的“心”动 . 下面举例说明几类动态综合题的解法 . 1. 动点与几何图形 例 1 （2010广西柳州） 如图 1， AB是⊙O的直径， 弦 BC=2cm， F 是弦 BC的中点， ∠ABC=60° . 若点 E 以 2 cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动， 设运动时间为 t （s）（0≤t 图 1 解析 动点 E 在直径 AB 上往返一次，所以分阶段考虑 :从 A 到 B 的运动中， E 与 O重合，根据垂径定理可知∠ EFB=90°，此时 AO=2 cm，t=1 （s）； 点 E 过 O 后到达 E′处（作 F E′⊥ AB，垂足为 E′） ，可得∠FE′B=90°，此时 A E′=3 5 cm， t=1 75 （s）； 出现在返程中，点 E 再次运动到 E′处，此时点 E 运动的路程为 AB+BE′=4.5 cm，得 t=2.25 （s）； 点 E又回到 O处， 此时点 E 运动的路程为 6 cm， 得 t=3 （s） . 但不合题意， 舍去 . 所以当 t 值为 1 s,1.75 s,2.25 s 时，△ BEF 是直角三角形 . 点评 本题主要用到了垂径定理和直径所对圆周角是直角两个结论，动点 E 的路径要分段讨论 . 由于∠ABC=60°， 所 以 △BEF 成 为 直 角 三 角 形 只 需 考 虑 ∠ BFE=90° 和 ∠ BEF=90° .图 2 例 2 （2011 云南昆明） 如图 2， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=10cm， AC∶BC=4∶3，点 P 从点 A 出发沿 AB方向向点 B 运动，速度为 1 cm/s，同时点 Q从点 B 出发沿 B→C→A 方向向点 A 运动，速度为 2 cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动 . （1） 求 AC、 BC的长； （2） 设点P 的运动时间为 x （秒） ，△PBQ的面积为 y （cm2），当△ PBQ存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3） 当点 Q在 CA上运动，使 PQ⊥AB时，以点 B、 P、 Q为定点的三角形与△ ABC是否相似，请说明理由； （4）当 x=5 秒时，在直线 PQ上是否存在一点 M， 使△BCM的周长最小， 若存在， 求出最小周长，若不存在，请说明理由 . 解析 （1） 略， （2） 因动点 P 总在上 AB运动， PB=10-x，（0＜x≤10） . 当动点 Q在 BC上运动时 ,BQ=2x（0＜x≤3）， 见图①；当动点 Q运动到 CA上时， AQ=14-2x（3＜x＜ 7）， 见图② . 利用相似三角形求出图①中 QH=85x，图②中 QH′=35（ 14-2x ） . ∴ y 与 x 的函数关系式为y=-45x2+8x(0 35x2-515x+5(3 （3） 要判断以点 B、 P、 Q为顶点的三角形与△ ABC 是否相似，由于∠ QPB=∠ACB=90°，∠ QBP总小于∠ ABC， 因此只需讨论一种情况： △BQP∽△ ABC（见图③） . 由△APQ∽△ ABC，求得 PQ=34t, 通过△ BQP∽△ ABC， 得34t10-t=68 ， t=53 （4） 存在 . 当 x=5 时， PQ变成△ ABC的中位线， ∴ PQ∥BC，此时， PQ⊥AC，∴ PQ 是 AC的垂直平分线 . 设 M为 PQ上任一点（图④） ，则△ BCM 的周长等于 BC+CM+MB=BC+AM≥+CB+AP+PB=BC+CP+PB. 点评 当两个动点一起 出发时，首先要关注各点运动的路线，善于借用“静”的位置，其次要学会用含 x的代数式表示各相关线段 . 希望同学们熟悉本题中的基本图形 （如图⑤、 图⑥）， 基本图形的确认可以缩短思考的过程 . 2. 动点与函数图象 例 3（2011 安徽）如图 3 所示， P 是菱形 ABCD的对角线 AC上一动点，过 P 垂直于 AC的直线交菱形 ABCD的边于 M、 N 两点，设 AC=2， BD=1， AP=x，△AMN的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是 （ ） 解析 从选项中可以读出图象可能是直线或抛物线，所以要对 y 关于 x 的函数图象类型作判断： （ 1） 当点 P在 BD 左边，根据相似三角形对应高的比等于相似比得 MN=x，可求出 y=12x2（0≤x≤1）；（2） 当点 P 在 BD右边，同样方法求出 MN=2-x， y=-12x2+x （1 点评 本题考查了相似三角形的性质和利用三角形面积公式建立函数模型，在解题过程中，同学们要注意两点： （1） 分类要清晰， 要考虑 MN是在 BD的左边还是在右边； （2） AP 的长已经是△ AMN为高，解决问题的关键就转到了能否求出△ AMN 的底 .用△AM△ ABD， △CM△ CBD（如图虚线部分） ，就可分别求得 MN的长（用含 x的式子表示） . 例 4 （2011 浙江嘉兴）已知直线 y=kx+3 （k＜0）分别交 x 轴、y 轴于 A、 B 两点，线段 OA上有一动点 P 由原点 O 向点 A 运动，速度为每秒 1 个单位长度，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C，设运动时间为 t 秒 . （1） 当k=-1 时，线段 OA上另有一动点 Q由点 A 向点 O运动， 它与点 P 以相同速度同时出发，当点 P 到达点 A时两点同时停止运动（如图①） . ① 直接写出 t ＝1 秒时C、 Q两点的坐标； ② 若以 Q、 C、 A 为顶点的三角形与△ AOB相似，求 t 的值 .（2） 当 k=-34 时，设以 C 为顶点的抛物线 y=(x+m)2+n 与直线 AB的另一交点为 D （如图②） ，① 求 CD的长；② 设△COD的 OC边上的高为 h，当 t 为何值时， h 的值最大？ 图 4 解析 第（ 1）题中，当 k=-1 时，得∠ BAO＝∠ABO＝45° . 第②小题中以 Q、 C、 A 为顶点的三角形成为一个直角三角形有两种情形：（1） 当∠AQC=9时，点 Q与点 P 重合， OQ=O，P 即 3-t=t ，∴ t=1.5. （2） 当∠ACQ=9时，点 Q 在点 P 左边 . ∵ △ACQ是等腰直角三角形，∴ AQ=2CP，即 t ＝2 （-t+3 ），∴ t=2. ∴ 满足条件的 t 的值是 1.5 秒或 2 秒 .。