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分形学理论分形理论是 20 世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一分形理论把传统 的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自 然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动 力学等多个学科领域中被广泛应用 , 称为非线性科学研究的一个十分重要的分 支一．分形学的产生在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾 经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但 是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状 , 传统的欧氏几何学在描述这样 的自然现象时显得苍白无力究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、 面积、体积等来描述其形状在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础 , 牛顿在表达物 体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信 在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影 响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹 在通过一组微分方程组预报天气 时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时 , 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异 , 洛伦兹为了强调某些系数对初始 值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中 , 提出了一个形 象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下 了“蝴蝶效应”的说法。

另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩 石在受击破碎时裂纹的复杂性等 , 也很难用牛顿的确定论来描述 , 传统的物理 学也面临困境在化学领域里, 随着二十世纪初科学技术的发展 , 有机物越来越受到人们 的重视, 其中高分子已成为其中的重要的分支学科高分子分为两类: 一类是生 物高分子, 如生物体中的核糖核酸、蛋白质等; 另一类是聚合高分子, 如塑料、 橡胶、纤维等高分子的结构特点是它在空间具有很长的分子链, 传统化学对一 些高分子的复杂空间结构很难描述 , 化学振动现象在量上的规律等也很难用已 有的的化学知识来解释二．分形学的发展过程分形理论的发展可分为三个阶段第一阶段是从1827 年到1925 年在此阶 段, 数学家们构造并且研究了种种奇遇或病态的集合及其图像 , 而且试图对这 类集合与经典集合的差别进行描述、分类和刻画, 其中一些后来被认为是典型的这种情形是极少见的在 1827 年, 维尔斯特拉斯证明了一种连续函数 （ 如图1） 在任意一点都不具有有限或无限的导数这一结果曾引起了极大的震动, 虽 然人们认为维尔斯特拉斯型函数是极为“病态”的函数, 但人们仍从不同方面推广了上述函数, 并且对这类函数的奇异性质作了深入的研究。

瑞典数学家科赫在1904 年通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处 处不可微的连续曲线, 并且讨论了该曲线的性质, 由于该曲线的性质极为简单, 从而改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法特别重要的是,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线科赫曲线的构造过程如图2,所示第］级第3级無级图3 Koch曲线的构造1890 年, 意大利数学家皮亚诺构造出了能够通过某个正方形内所有点的曲 线这种奇怪的曲线曾使数学界大吃一惊, 并使人们对以往的长度与面积等概念 重新进行认识在此基础上, 闵可夫斯基于1901 年引入了闵可夫斯基容度, 豪 斯道夫于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数这些概念实际上指出了测 量一个几何对象所依赖的测量方式及测量所采用的尺度总之, 在分形理论发展的第一阶段, 人们已经提出了一些典型的“分形”对 象和相关问题, 并为讨论这些问题提供了一些最基本的数学工具第二阶段大致为1926 年到1975 年在这半个世纪里, 人们对分形的性质作 了深入的研究, 特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果这一阶段系统、深 入的研究深化了第一阶段的思想 , 不仅逐渐形成理论, 而且将研究范围扩大到 了数学的许多分支之中。

在这一阶段, 庞特里亚金、贝塞克维奇等研究了曲线的 维数, 分形集的局部性质, 分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论 中的应用, 他们的研究成果极大地丰富了分形几何理论在这一阶段, 列维在两 个方面的工作极为重要: 其一, 他第一个系统地研究了自相似集 , 如今研究的 许多自相似性都可追溯到他的工作 ; 其二, 他建立了分数布朗运动的理论, 成 为随机分形论系统研究的重要先驱者之一在1968 年美国生物学家林德梅叶提 出了研究植物形态与生长的“L系统”方法，在80年代L系统被引入计算机图 形学从而广为人知, 并成为生成分形图形的最典型方法之一尽管在此阶段分形 的研究取得了许多重要的成果， 并使这一学科在理论上初见雏形， 但是绝大部 分从事这一领域工的人主要局限于纯数学理论的研究 ， 而未与其他学科发生联 系但物理、地质、天文学和工程学等学科却已产生了大量与分形有关的问题， 迫 切需要新的思想与有力的工具来处理正是在这种形势下， 曼德布罗特以独特的 思想， 系统、深入、创造性的研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、 月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的分形现象， 并取得了一系列令人瞩 目的结果.第三阶段为1976 年至今， 这使分形在各个领域的应用取得全面发展， 并形 成独立学科的阶段， 由于分形几何极强的应用性， 它在物理相变理论、材料的 结构与控制、力学中的断裂、高分子链的聚合、自然图形的模拟、酶的生长等领 域取得了令人瞩目的成果。

在应用学科和计算机图形的推动下, 分形的随机理论, 运动系统的吸引子理论与分形的局部结构等方面也获得了较深入的研究结果 三.分形理论的研究对象和分形的定义分形理论所研究的对象主要是复杂的不规则几何形态正如前文所述, 具有 复杂结构的形体与现象在大自然中无处不在 , 因而人们也说分形是大自然的几 何学, 分形是处处可见的分形自创立起到现在一直没有一个严格的数学定义 在曼德布罗特最初的论述中, 定义分形是豪斯道夫( Hausdorff ) 维数, 严格大 于其拓扑维数的集合但有些集合(如Peano曲线)很明显是分形图形却被这个 定义排除在外, 后来他又强调具有自相似性性质的集合为分形, 但是这又把一 些非分形的集合( 如直线) 混在了分形之中对分形下定义, 可以采用生物科学 中对“生命”下定义的方法生命很难有全面且准确的定义, 但人们却熟知生命 现象的一系列特征( 如运动能力、繁殖能力) , 于是就把具有这些特征的对象认 为是生命虽然这不是一个严格的定义, 但却适合于绝大多数情形, 对生命的研 究也没有因为没有一个严格的定义而停止不前类似的对分形下定义, 以同样的 方法可以认为具有以下分形特征的集合就是分形。

分形图形的典型特征主要有 ( 1) 具有精细的结构也就是说在任意小的尺度下, 它总是有复杂的结构 ( 2) 具有不规则性它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述 3) 具有自相似形式这种自相似可以是近似的或统计意义的 4) 一般地, 分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数 5) 在大多数情况下, 分形图形可以用非常简单的方法产生 四.分形理论的特点自然界中存在着大量貌似无规则的、混乱的复杂结构, 人们从开始研究这种 结构起就发现用传统的几何学难以描述其性质分形理论的诞生给人们开辟了一 条新的途径, 而其所用的数学工具 - 分形几何学, 从某种角度来说被认为是一 种“语言”,它在复杂结构的生成、分析等方面具有很强的说明力, 解决了传统 学科中的多个难题, 标志着现代数学的新进展分形理论又是一门交叉理论, 它在数学、物理学、冶金学、材料科学、计算 机科学、生理学、人口学、经济学、电影、美术等领域都有应用, 被喻为“串起 多种学科的一条线”分形理论与许多领域相结合, 产生了各种新颖的理论和技 术, 如生物分形学、计算机分形学、分形图像处理技术、分形噪音理论、分形经 济学、分形函数论、分形艺术等。

分形理论对物理中的凝聚现象, 电解液中金属 树的生长等现象都能建立很好的数学模型 , 在计算机仿真及图像压缩方面也有 重大突破［与分形有着分不开渊源的另一门学科则是混沌学混沌学用以研究确 定性非线性系统中的不规则行为象“分形”一样, 混沌到现在为止也没有一个 严格的定义, 且在自然界中无处不在, 飘动的云烟、湍流、地下管道内油的流动 等等都是混沌现象在20世纪后半期, 非线性科学逐渐称为国内外科学研究 的热点, 分形、混沌与弧波已成为非线性科学的三个主要组成部分分形与混沌 的起源不同, 发展过程不同 , 但这两门学科的本质决定了它们必然会紧密联系 在一起, 它们的研究内容也存在着极大的相似性混沌与分形的研究都涉及到对 确定论和随机论、有序与无序、简单性与复杂性、量变与质变的认识, 但混沌主 要在于研究过程的行为特征, 而分形更注重与混沌吸引子本身结构的研究这两 门学科在很大程度上依赖于计算机科学的进步 , 这对纯数学的传统观念提出了 挑战计算机技术不仅促进了这两个领域中新发现的产生, 而且以其直观的图形 表示激发了科学家与公众的兴趣, 对这两门学科的发展起了推动作用五．分形的应用自80 年代以来, 在计算机图形学和应用科学的推动下, 分形的基础理论及 其在多种学科的应用发展迅速。

维数的估计与算法, 分形集的生成与结构,分形 的随机理论, 动力系统的吸引子理论 , 分形集的局部结构, 分形在应用数学中 对自然景物的模拟等取得了较深入的结果但另一方面, 有很多从事分形研究的 人往往是带着自己的问题从原来的技术领域进入这一学科领域的他们带来了非 常有意义的问题、方法和技巧, 并以此推动了分形理论的发展, 但也难免有忽视 了分形自身的基本理论及分形理论的严谨性, 出现了一些理论和技术上的漏洞当前分形理论的研究主要分三种类型 其一,分形的基础理论研究如分形 集维数的性质与估计,分形集的局部结构, 分形集的交与积, 随机分形理论等方 面的研究; 其二, 分形理论在实际应用中的研究分形理论在化学、物理学、地 震学、生命科学、艺术等多个方面有广泛的应用; 其三, 分形图形的生成方法研 究这三类研究相比之下, 前一类问题的研究者较少, 出成果的速度缓慢, 尤其 是在分形集维数的估算及本质认识 , 分形集结构的深入认识, 分形函数的“导 数”等方面进展迟缓, 但是在分形压缩方面却不断有新的成果出现并投入了实际 应用而后两类问题的研究者较多, 出现成果的速度也较快, 尤其是分形理论在 物理学、化学、材料科学、计算机图形学等多个学科的应用取得了令人瞩目的成 绩, 特别是在一些广告、电脑游戏、计算机动画、书籍和刊物的封装、艺术作品 中, 已经成功地应用了分形技术 , 分形给这些生活中的普通事物注入了无限的 生机。