浙教版八年级数学下册：矩形知识点及同步练习参考.pdf

文库独家】学科：数学教学内容：矩形学习目标1了解矩形的概念及与平行四边形的关系2掌握矩形的性质及识别方法3能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性基础知识讲解1矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件2矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个内角是直角（3）矩形的对角线相等且互相平分（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形3矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形4矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件； 一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例 1对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形典型例题例 1如图 12-2-1 所示： 已知矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD相交于 O，AOD=120 ，AB 4cm ，求矩形对角线长分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解解 ABCD 为矩形AC BD ，且 OA=21AC ，OB=21BD ， OA=OB ， AOD=120 ， AOB=60 AOB为等边三角形OB OA AB4， BD 2OB 248cm 例 2如图 12-2-2 所示：ABCD 中 AC ，BD直交于 O，EFBD垂足为 O，EF分别交 AD ，BC于点 E，F，且 AE=EO=21DE. 求证：ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证ABCD 为矩形，显然只要证ACBD即可，若Rt DOE的斜边上的中线OM ，易证 AOE DOM ， OA OD问题得证证明：取 DE的中点 M ，连结 OM ，在 RtDOE中， OM=21DE=DM ，OE=AE=21DE， OME= OEA OM OE ，DM AE ， OMD OEM ， OMD OEA ， OA=OD ，在ABCD 中， OA=21AC ，OD=21BD ，AC BC ABCD 为矩形例 3已知：如图所示，E是已知矩形ABCD 的边 CB延长线上的一点，CE CA ，F 是 AE的中点求证：BFFD 分析：由于CE CA ，F是 AE的中点，若连结CF，则 CFAE 所示 AFC 90 . 所以要证 BFFD ，只须再证CFB AFD 易知，只要证AFD BCF 证法一：连结CF 因为 CE CA ，F 是 AE中点，所以CFAE 所以 AFD+ DFC 90 ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以 AD BC ，ABC BAD 90 . 又 F是 RtABE斜边 BE的中点，所以 BFAF， 所以 FAB FBA ， 所以 FAD= FBC 所以 FAD FBC 所以 CFB= AFD ，所以 CFB+ DFC 90 ，即 BFFD 证法二：如图所示：延长BF交 DA延长线于点G ，连结 BD 因为四边形ABCD是矩形，所以 ADBC ，AC BD ，所以 AGF EBF ， GAF= BEF 因为 F是 AE的中点，所以AFFE 所以 AGF EBF所以 GF BF， AG BE 所以GD EC 因为CA CE ，CA BD ，所以BF DF. 例 4已知如图：矩形ABCD 中， E为 CD的中点求证：EAB EBA 分析：证角相等若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形证明：四边形ABCD为矩形 D C90 ，AD BC E为 DC的中点，ADE BCE AEBE EAB= EBA 例 5如图： 已知矩形ABCD 中，CFBD于 F，DAB的平分线AE与 FC的延长线相交于点 E，判断 CA与 CE的大小关系，并说明理由分析：要判断CA与 CE的大小关系，如果能证到EAO E即可得 CACE 解： OA CO 过点 A作 AM DB ，可得 AM EF， MAE E DAM DBA OAB ， MAE EAO EAO E CE=CA 创新思维例 1如图所示 ABC是直角三角形，C 90 ，现将 ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD 和矩形 AEFB 解答问题（1） 设图（2） 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB的面积分别为S1， S2， 则 S1 S2.（填“”“” “” ）（2）如图（ 3）中 ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来（3）过图（ 4）ABC是锐角三角形且三边满足BC AC AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图（ 4）把它画出来（4）在（ 3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算解： （1）如图甲过点C作 CG AB于 G ，则 CG=AE S1=2SABC=221 AB CG=AB CG ，S2=AE AB=CG AB S1=S2（2）有 2 个如图乙（3）有 3 个如图丙（4）设矩形 BCED ，ACHQ ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC a，AC b，AB c易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S，则有L1=aas22， L2=bs2+2b，L3cs2+2c，L1-L2=sa2+2a- （bbs22） =2（a-b ）absab，而 abs，ab L1-L20，即 L1L2. 同理 L2L3以 AB为边的矩形周长最小例 2如图 ABC中，点 O是 AC边上的一个动点，过点 O作直线 MN BC ，设 MN交 BCA的平分线于点E，交 BCA的外角线于点F.（1）求证： EO FO ； （2）当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？证明你的结论分析：先证OCE OEC 就有 EO CO ，同理有 FOCO ，即有 EO FO 当 0 运动到AC的中点时，四边形AECF对角钱互相平分EcF90 . 则四边形AECF为矩形证明： （ l ） MN BC ， 1=3 又 CE为 ACB的角平分线，1 2， 2=3， OE OC ，同理可证OF OC ， OE=OF （2）当 O运动到 AC的中点时，四边形AECF为矩形，因为AO OC ，OE OF. 解：由矩形的特征，AC EF，由 AE CF， CE AF知 BECD是平行四边形，故AE CF，从而 AC FE 中考练兵1如图所示，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别在 AB ，CD上 BF DF，若 AD 12cm ，AB7cm ，且 AE ：EB=5 ：2，则阴影部分的面积为 . 分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形由平行线之间的距离处处相等，可知BE边上的高与AD的长相等因此求BE的长是关键本题还可运用平移的方法，将AED沿 AB方向平移，使DE与 BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm ，宽 5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD 的面积，减去空白部分的面积， 即可得阴影部分的面积也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。

解：因为 AE+EB AB7cm ， AE ：EB 5：2 所以 AE 5cm，EB 2cm. 由矩形的特征，BE DF，又 BFDE. 所以四边形EBFD 为平行四边形故其面积为BE AD 21224cm2故填 24cm22如图所示，矩形ABCD 沿 AE折叠，使D点落在 BC边上的 F 点处，如果 BAF 60 ,则 DAE等于（）A15B 30C45D60分析： 本题主要考查矩形性质，矩形的四个角都是直角，也考查全等三角形的判定和性质可证 ADE AFE ，从而 DAE FAE （ 90 -60 ） 2 15答：选 A 3 如图在矩形ABCD 中， CE BD ， E为垂足，DCE ： ECB 3： 1， 那么 ACE= 度分析：由矩形的性质得DCB 90 ，根据 DCE ：ECB 3：1，可得出 DCE的度数 由于 AC BD ，且 AC ，BD互相平分，可得等腰三角形OCD ，则 OCD ODC 90 - DCE从而可求 ACE的度数答： 45随堂演练一、填空题1矩形 ABCD的边 AB的中点为 P，且 DPC为直角，则AD：BA 2 已知矩形ABCD 中，对角线 AC ， BD交于 O点，AOB=2 BOC ， AC=18cm ， 则 AD= cm. 3如图矩形ABCD 中， E是 CD的中点，且AE EB ，若 SEAB 8cm2，则 AD ，AB . 4 矩形的两条对角线的夹角为60 ， 一条对角线与短边的和为15， 则短边的长为，对角线的长 . 5在矩形 ABCD 中， AB=2AD ，E是 CD上一点， 且 AE AB ，则 CBE的度数是 . 6在 RtABC中， A90 ，AB AC，如图，且四边形AFDE为矩形，若EF5，矩形AFDE的面积为12，则 AC= . 7如图，在矩形ABCD中， AB16，BC 8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE交 AB于点 F，则 AF= 8如图， 宽为 3，长为 4 的矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD对折， 点 C落在点 C位置，BC 交 AD于 G ，再折叠一次使点D与点 A重合得折痕EN，EN交 AD于点 M ，则点 ME的长为 . 二、选择题1 矩形的边长为10cm和 15cm ， 其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（）A6cm和 9cm B5cm和 10cm C4cm和 11cm D7cm和 8cm 2下列四边形中，不是矩形的是（）A三个角都是直角的四边形B四个角都相等的四边形C一组对边平行且对角线相等的四边形D对角线相等且互相平分的四边形3如图，在矩形ABCD 中， DE AC于 E， ADE ： EDC 3：2，则 BDE的度数（）A18B 36C54D724已知矩形ABCD 对角线相交于O，且 AB ：BC=1 ：2， AC 3cm，则矩形 ABCD的周长为（）A （6+23）cm B5518cm C （6+556）cm D12cm 5矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）A对角线相等B对边相等C对角相等D对角线互相平分6矩形的两条对角线与各边围成的三角形中，共有多少对全等的三角形（）A2 对B4 对C6 对D8 对7矩形的对角线所成的角是65 ，则对角线与各边所成的角度是（）A57 5B325C57 5 ，335D575 ，3258下面真命题的个数是（）（1）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（3）两条对角线相等的四边形是矩形（4）有两个角相等的平行四边形是矩形（5）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形A5 个B4 个C3 个D2 个三、判断题1两条对角线互相垂直并且相等的四边形是矩形（）2两条对角线的交点到四个顶点的距离相等的四边形是矩形（）3矩形是轴对称图形，而且有四条对称轴（）四、解答题1已知，如图在ABC中，D是 AB上一点，且AD=DC=BD，DF ，DE分别是 ADC ， BDC的平分线求证：四边形DECF是矩形2已知：如图AC 、 BD的交点 O是四边形 ABCD的对称中心，且A90 求证：四边形 ABCD 是矩形3已知： 如图 ABC中，CE AD于点 E，BD AD于点 D，M是 BC的中点 求证： ME=MD. 4已知：如图，矩形ABCD 。