高考数学冲刺必考专题解析立体几何怎么解高考必考.pdf

学习必备欢迎下载立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有4 道( 客观题 3 道, 主观题 1 道), 共计总分27 分左右 ,考查的知识点在20 个以内 . 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然 , 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施, 立体几何考题正朝着”多一点思考, 少一点计算”的发展. 从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证, 角与距离的探求是常考常新的热门话题. 例 1 四棱锥 PABCD 的底面是边长为a的正方形， PB面 ABCD. （1）若面 PAD与面 ABCD 所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90讲解 : （1）正方形 ABCD是四棱锥 PABCD的底面 , 其面积为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了. PB面 ABCD, BA是 PA在面 ABCD 上的射影 . 又 DA AB ，PA DA ， PAB是面 PAD与面 ABCD 所成的二面角的平面角，PAB=60 . 而 PB是四棱锥 PABCD 的高， PB=AB tg60 =3a, 3233331aaaV锥. （2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与 PCD恒为全等三角形. 作 AEDP ，垂足为 E，连结 EC ，则 ADE CDE ，CEACEDCEAE故,90,是面 PAD与面 PCD所成的二面角的平面角. 设 AC与 DB相交于点 O ，连结 EO ，则 EO AC ，.22aADAEOAa在. 0)2)(2(2)2(cos,2222AEOAAEOAAEECAEOAECAEAECAEC中故平面 PAD与平面 PCD所成的二面角恒大于90. 本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性 , 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.例 2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1 ，C点到 AB1的距离为 CE=23，D为 AB的中点 . （1）求证： AB1平面 CED ；ABCDA1EB1C1精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）求异面直线AB1与 CD之间的距离；（3）求二面角B1ACB的平面角 . 讲解 : （1） D 是 AB中点， ABC为等腰直角三角形，ABC=900， CD AB又 AA1平面 ABC ，CD AA1. CD 平面 A1B1BA CD AB1，又 CE AB1， AB1平面 CDE ；（2）由 CD 平面 A1B1BA CD DE AB1平面 CDE DE AB1 DE是异面直线AB1与 CD的公垂线段CE=23，AC=1 , CD=.2221)()(22CDCEDE；（3）连结 B1C，易证 B1CAC ，又 BC AC , B1CB是二面角 B1AC B的平面角 . 在 RtCEA中， CE=23，BC=AC=1, B1AC=600 260cos121AB，2)()(2211ABABBB, 211BCBBCBBtg , 21arctgCBB. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然 , 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石. 例 3如图al是 120的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90，C在内，ABC是等腰直角三角形ACB=.900（I ）求三棱锥D ABC的体积；（2）求二面角DAC B的大小；（3）求异面直线AB 、CD所成的角 . 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载讲解 : (1) 过 D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. DAEOAABDAOAADAB,上的射影在平面为为二面角al 的平面角 .60,120DAODAE3,2DOABAD. ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2., 1ABCS又D到平面的距离DO=.3.33ABCDV（2）过O在内作OM AC, 交AC的反向延长线于M, 连结DM. 则AC DM. DMO 为二 面 角D AC B的 平 面 角 . 又 在 DOA中 ，OA=2cos60 =1.且.22,45OMCAEOAM.6.6arctgDMODMOtg（ 3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，DCF为异面直线AB、CD所成的角 . ACFCAFDFCFAFCFAFAB即又,45,为等腰直角三角形， 又AF等于C到AB的距离，即ABC斜边上的高 ,.1CFAF.7.7.7120cos2222DCFtgCFDFDCFtgAFADAFADDF异面直线AB,CD所成的角为arctg.7比较例 2 与例 3 解法的异同 , 你会得出怎样的启示? 想想看 . 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 4 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图 若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器， 如图 则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值图图讲解 : 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为xa32, )32)(32(3434143)320()32(43)(2xaxaxaxxaxxV54)3323234(16133axaxax. 当且仅当.54,183,32343maxaVaxxax时即. 故当容器的高为a183时，容器的容积最大，其最大容积为.543a对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与20XX年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是 : 某企业设计一个容积为V的密闭容器， 下部是圆柱形， 上部是半球形， 当圆柱的底面半径 r 和圆柱的高h 为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例 5 已知三棱锥P ABC中， PC 底面 ABC ，AB=BC ，D、F 分别为 AC 、PC的中点， DE AP于 E精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（1）求证： AP 平面 BDE ；（2）求证：平面BDE 平面 BDF ；（3）若 AE EP=1 2，求截面 BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比讲解 : (1 ） PC 底面 ABC ，BD平面 ABC ， PC BD 由 AB=BC ，D为 AC的中点，得BD AC 又 PC AC=C ， BD 平面 PAC 又 PA平面、PAC ， BD PA 由已知 DE PA ，DE BD=D ，AP 平面 BDE （ 2） 由 BD 平面 PAC ， DE平面 PAC ， 得 BDDE 由 D、 F分别为 AC 、 PC的中点，得 DF/AP由已知， DE AP ， DE DF. BDDF=D ，DE平面 BDF 又DE平面 BDE ，平面 BDE 平面 BDF （ 3）设点 E和点 A到平面 PBC的距离分别为h1和 h2则 h1h2=EP AP=2 3, .31232313121PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFPShShVVVV故截面 BEF分三棱锥 PABC所成两部分体积的比为12 或 21 值得注意的是 , “截面 BEF分三棱锥 PABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不要犯这种”会而不全”的错误. 例 6已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线 . （1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积讲解 : （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，由题意得：Rl2, 即21cos1lRACO, 所以母线和底面所成的角为.600精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON ，其中 O为截面与AC的交点，则OO1/AB 且.211ABOO在截面 MON 内，以 OO1所在有向直线为y 轴， O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=2py，点 N的坐标为（ R， R） ，代入方程得R2=2p（ R） ，得 R=2p ，l=2R=4p. 圆锥的全面积为22221248pppRRl. 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意 , 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题 : 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为 1，则该几何体的体积等于例 7 如图，几何体 ABCDE 中， ABC是正三角形，EA和 DC都垂直于平面ABC ， 且 EA=AB=2a ，DC=a ，F、G分别为 EB和 AB的中点 . （1）求证： FD平面 ABC ；（2）求证： AF BD ； (3) 求二面角 BFCG的正切值 . 讲解 : F、G分别为 EB 、AB的中点，FG=21EA ，又 EA 、DC都垂直于面ABC, FG=DC，四边形 FGCD 为平行四边形，FDGC ，又 GC面 ABC ，FD面 ABC. （ 2） AB=EA ，且 F为 EB中点， AF EB 又 FG EA ，EA 面 ABC FG 面 ABC G为等边 ABC ，AB边的中点，AG GC. AFGC又 FD GC ， AF FD 由、知AF 面 EBD ，又 BD面 EBD ， AFBD. 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品学习资料 - - -p d f 精品资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（3）由（ 1） 、 （2）知 FG GB ，GC GB ， GB 面 GCF. 过 G作 GH FC，垂足为 H ，连 HB ，HB FC. GHB 为二面角 B-FC-G 的平面角 . 易求33223,23aaGH。