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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课件苏教版选修11.ppt

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    • 2.4.1 抛物线的标准方程第2章 §2.4 抛物线 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物 线标准方程的问题.学习目标 题型探究问题导学内容索引当堂训练 问题导学 知识点￿￿￿￿抛物线的标准方程思考￿1在抛物线方程中p有何意义?抛物线的开口方向由什么决定?答案p是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线方程中一次项决定开口方向. 思考￿2已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?答案一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上.若系数为正,则焦点在正半轴上;若系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定,开口方向也随之确定. 梳理梳理抛物线的标准方程有四种类型  图形标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦点坐标_______________________________准线方程____________________________________ 题型探究 例例1   分别根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);类型一￿￿￿￿求抛物线的标准方程解答因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程为x2=-8y. 因为抛物线的准线平行于x轴,且在x轴上面,解答 由焦点到准线的距离为5知,p=5.又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程为y2=-10x.(3)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5;解答 由题意知,抛物线方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).将点A(2,3)的坐标代入,得32=m·2或22=n·3,(4)过点A(2,3).解答 求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).反思与感悟 跟踪训练跟踪训练1  分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1) 过点(3,-4);解答 (2) 焦点在直线x+3y+15=0上,且焦点在坐标轴上;解答令x=0,得y=-5;令y=0,得x=-15.∴抛物线的焦点坐标为(0,-5)或(-15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. 解答 例例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程:(1)y2=-6x;类型二￿￿￿￿求抛物线的焦点坐标及准线方程由方程y2=-6x知,抛物线开口向左,解答 解答(2)3x2+5y=0; (3)y=4x2;解答 (4)y2=a2x(a≠0).解答由方程y2=a2x(a≠0)知,抛物线开口向右, 引申探究引申探究  若将本例(4)中条件改为y=ax2(a≠0),结果又如何?解答 反思与感悟如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向. 跟跟踪踪训训练练2 若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=____,准线方程为_________.答案解析2x=-1 类型三￿￿￿￿抛物线定义的应用解答命题角度命题角度1 与抛物线有关的轨迹方程 与抛物线有关的轨迹方程由抛物线的定义知,动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程应为y2=2px(p>0)的形式,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0). 反思与感悟满足抛物线的定义,可直接利用定义写出轨迹方程,避免了繁琐的化简. 跟跟踪踪训训练练3 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.解答由题意知,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0上的点适合条件;当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线,方程为y2=4x. 解答命题角度命题角度2 利用抛物线定义求最值 利用抛物线定义求最值例例4  设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)若点B的坐标为(3,2).求PB+PF的最小值.解答如图,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2 .因为2 >2,所以点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P1,连结P1F.此时,由抛物线定义知,P1Q=P1F.所以PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=3+1=4,即PB+PF的最小值为4. 反思与感悟解决最值问题:在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线来解决最值问题. 跟跟踪踪训训练练4 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_____.由题意知,直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线的定义知,点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y2=4x上找一个点P,使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即d= =2.答案解析2 当堂训练 123451.抛物线y= x2的准线方程是________.答案解析y=-1则抛物线的焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2, 12345抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离是6.由抛物线的定义可知,点P到抛物线焦点的距离是6.2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是________.答案解析6 123453.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)准线方程为x=-1.________.答案解析y2=4x∴p=2.又焦点在x轴上,则抛物线的标准方程为y2=4x. 12345(2)焦点在x轴的负半轴上,焦点到准线的距离是2.________.答案解析y2=-4x∵焦点到准线的距离为p=2,且焦点在x轴的负半轴上,∴抛物线的标准方程为y2=-4x. 12345答案解析 123455.若抛物线y2=-2px (p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.由题意设点M到准线的距离为MN,故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y0)代入抛物线方程,得y0=±6.∴M点的坐标为(-9,6)或(-9,-6).解答 规律与方法 3.对于抛物线上的点,利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离,也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离,因此可以解决有关距离的最值问题. 本课结束 。

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