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谈含参函数零点问题的解题策略 摘要：含参函数零点问题一直是高考热点和难点，全国卷中常常均导数压轴题形式出现， 对大部分学生而言有一定的难度本文主要针对此类问题举例说明两种方法：直接法和参变分离法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的目的关键词：直接法 参变分离法 导数 零点问题 含参函数导数及其应用一直是高考的重点与难点，尤其是含参函数的零点问题[1-3]，一般以基本初等函数为载体，考察函数的单调性，函数的零点存在性定理及指数函数、幂函数、对数函数的增长速度，难度较大，解题时要熟练运用导数与函数单调性的关系，注重函数与方程化归、分类讨论及数形结合等思想方法的应用针对导数压轴题中的含参函数零点问题，本文将用两道例题来说明两种常用方法：直接法和参变分离法，例一是已知零点情形求参数范围，例二是直接求解函数零点个数，其中例一选自2018年全国卷理科Ⅱ卷21题第二问，例二选自2018年广一模理科21题第一问直接法是通过对参量进行分类讨论直接分析所求函数的单调性、极值、最值和极限，大致确定函数的图象进而分析函数的零点个数参变分离法则是利用函数与方程思想把参数和变量进行分离，得到一个不含参的函数和常函数，通过分析不含参函数的大概走势，进而确定不含参函数与常函数交点个数，从而解决原函数的零点问题。

在采用这两种方法求解时，我们利用极限思想降低计算复杂度虽然在高中数学没有涉及极限的计算方法，但是人教A版选修2-2中提到了极限的思想，所以我们根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度来求一些简单函数的极限来确保函数在某些区间满足零点存在性定理本文将通过对这两道例题讨论分析说明两种求解方法，让学生有迹可循，进而达到落实数学核心素养的目的例1（2018全国理科Ⅱ卷21）已知函数 ．若 在 只有一个零点，求 ．方法一：直接法解析：当 时， 不满足题意.当 时， ，令 令 . 当 时，即当 ， 单调递增，又 即 在 单调递增，又 不满足题意. 当 时，即当 ， 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. 当 时，即 单调递增， 不满足题意.当 时，即又 时， 增长速度远远大于 增长速度，所以 ，又 使得+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增又 增长速度远远大于 增长速度，所以 在 只有一个零点， 又 ，解得方法二：参变分离法解析： 在 只有一个零点，即方程 在 只有一个解，即方程 在 只有一个解.即函数 和函数 在 只有一个交点. 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增. ，又 时， 增长速度远远大于 增长速度，所以 ， 所以 函数 和函数 在 只有一个交点， =例2（2018广一模理科21） 已知函数 .讨论 的导函数 零点的个数；解析：定义域为方法一：直接法令 ，故 在 上单调递增， ，又 当 时， 有且只有一个零点 ，所以当 时，即 时， 只有一个零点；当 时，即 时， 有两个零点.当 时， 没有零点， 只有一个零点.所以当 或 时， 只有一个零点；当 或 时， 有两个零点.方法二：参变分离法方程 在 解的个数，即方程 在 解的个数，即函数 和函数 在 交点个数. 在 单调递增， ，又 当 时， 和 有且只有一个交点 ，故当 时，即 时， 只有一个零点；当 时，即 时， 有两个零点.当 时， 和 没有交点， 只有一个零点.所以当 或 时， 只有一个零点；当 或 时， 有两个零点.通过上述两个例题的详细解析，我们可以直观感受到两种方法的特点。

直接法解决零点问题时，是直接对所研究函数进行分析，求其单调性、极值、最值，并且根据指数函数、幂函数、对数函数增长速度求函数的极限，从而大致确定函数的图象，进而分析函数的零点采用直接法可以对所求函数有更全面的认识，如果零点问题作为导数压轴题第一问，采用直接法在回答第二问时就避免再次分析函数，相比参变分离法就有较大优势参变分离法求解含参函数零点问题时，首先根据函数与方程思想，把问题转化成直线 与不含参数的函数图象交点问题，然后通过分析不含参函数的单调性、极值、最值和极限确定它的大致图象，从而判断直线 与其交点个数根据上述例题可以发现参变分离后只需分析不含参函数的性质，相比直接法在分析函数时更简单，所以单纯求解零点问题时参数分离法更具优势在采用这两种方法求解时，我们采用了极限的思想分析函数的走势，避免了对含参函数取点判断函数值正负以使其满足函数零点存在性定理，从而大大降低了计算复杂度综上所述，针对含参函数零点问题，本文采用了直接法和参变分离法进行解决，对于不同的情况，两种方法各有优势如果零点问题作为第一问，优先采用直接法；如果零点问题为第二问，优先采用参变分离法会更简单些针对不同情况，采用不同方法，可以取得事半功倍的效果。

参考文献[1] 段伟军.一道含参零点问题课堂教学展示与拓展[J].中学数学研究,2018(03):15-17.[2] 张慧.函数零点变化多端 妙借导数巧解无忧[J].高中数理化,2018(03):19-20.[3] 吴志鹏.两类函数零点问题的解答策略[J].数理化学习(高中版),2018(01):28-30.1-全文完-。