中考数学一轮复习01有理数的运算讲义（教师版）.doc

专题01 有理数的运算1.有理数乘方及混合运算2.正确运用科学记数法及近似数和有效数字 3.能合理、自觉运用有理数运算律进行简便运算4.科学记数法中10的幂指数特征；近似数概念的理解．一、有理数加法1. 有理数加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0； ⑶一个数同0相加，仍得这个数例1、计算：(1)(﹣3)＋(﹣9) (2) (﹣)＋(﹢) （3）(﹢4)＋(﹣3) （4）(﹣5.25)＋5 （5）(﹣)＋0答案】（1）-12 （2） （3）1 （4）-0.25 （5）﹣【归纳总结】进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．2. 有理数加法运算律：①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 即加法交换律 ．②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即加法结合律 ．③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。

例2、（1）38+（－22）+（+62）+（－78） （2）（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5） （3）【答案】（1）0 （2）0 （3）4【归纳总结】对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：（1）凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；（2）同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；（3）同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；（4）带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号二、有理数减法 1.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a +（-b）【特别提醒】这里的a、b表示任意有理数①进行有理数运算时，首先应弄清减数的符号（是“+”，还是“-” ）②将有理数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号由“-”变为“+”，另一个是减数的性质符号③今天学习有理数减法和小学减法意义相同，就是：已知两数和与其中一个加数，求另一个加数的运算例3、（1）0－(－9) （2）(－25)－(－13) （3）8.2―(―6.3) 【答案】（1）9 （2）-12 （3）14.52.有理数加减混合运算（1）我们知道有理数的减法是先把它化为有理数的加法，即加减统一成加法。

把（-8）-（-10）+（-6）-（+4）统一成只有加法可写成（-8）+（+10）+（-6）+（-4）像这样的的一个和式里，通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写，如上式可写成-8+10-6-4 这个式子仍看作和式，叫做代数和按和式读做“负8，正10，负6负4的和”；这时“+”“－”符号，既是性质符号，又是运算符号，两者合一．例4、（1）（+6.1）―（－4.3）+（－2.1）―5.1 （2）（－0.5）－＋6.75－【答案】（1）3.2 （2）4【归纳总结】（1）有理数加减法混合运算的题目的步骤为：①减法转化成加法； ②省略加号括号；③运用加法交换律（这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换）；④按有理数加法法则计算．（2）运算律：①互为相反数放在一起 ②同分母的放在一起③能凑整的放在一起 ④小数与小数放在一起，整数与正数放在一起（等等）三、有理数乘法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0相乘，都得0. 进行乘法运算时，要抓住符号和绝对值这两个关键：有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。

a（a≠0）的倒数是，0没有倒数特别提醒】（1)当a（a≠0）为整数时，倒数为；(2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求；(3)正数倒数为正，负数倒数为负；(4)倒数等于本身的数是1，-1；相反数等于本身的数是0；绝对值等于本身的数是非负数3.几个有理数相乘的积的符号法则当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.乘法运算律（和小学所学的乘法运算律一样）(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab=ba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即(ab)c=a(bc)．(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加即a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数)例5、计算：【答案】（1） （2）6四、有理数除法1.有理数除法法则根据除法是乘法的逆运算，除法可以转化为乘法，即除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。

也可以表示成÷=×(≠0) 除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除零除以不等于零的数 2. 有理数加减乘除混合运算运算法则：有理数加减乘除混合运算，无括号时，“先乘除，后加减”，有括号时，先算括号内的，同级运算，“从左到右”例6、计算：－54×（－2）÷（－4）×； 【答案】-6五、乘方1、概念：一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即，记作．例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4．这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫作底数，n叫做指数，an 读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．2、结论：根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0．补充：两个数互为相反数，偶次幂相等，奇次幂互为相反数3、有理数混合运算的运算顺序如下：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。

例7、(1) -2+2×(-4)2 (2) -22+(-7)÷() (3) 【答案】（1）30 （2）0 （3）-84、 科学记数法 把大于10的数记成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法．与10的幂相乘的数a ，必须是大于等于1且小于10，这是科学记数法的规定5、 近似数和有效数字在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数例如，如果统计的班上生日在10月份的同学的人数是8，则8这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不也不多，一个也不少如果量得的语文课本的宽度为13.5cm,由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察是不可能非常细致，因此与实际宽度会有一点偏差，这里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接近的数，这样的数叫近似数在很多情况下，很难取得准确数 ，或者不必使用准确数，而可以使用近似数例如，宇宙现在年龄约为200亿年，长江长约6300千米，这些都是近似数近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示．例如，书上的约有500人参加会议，500是精确到百位的近似数，它与准确数513的误差为13．从一个数左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)．1．（2022·湖北）下列各式结果是负数的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方运算化简得出答案．【详解】解：A．，故此选项不合题意；B．，故此选项不合题意；C．，故此选项不合题意；D．，故此选项符合题意．故选D．2．（2022·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级其他模拟）“让所有人远离饥饿”是杂交水稻之父袁隆平毕生的追求．如今，全世界有一亿五千万公顷的稻田，其中七千五百万稻田是杂交稻．每年可为全世界多养活五亿人．其中数据“七千五百万”用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将七千五百万写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）即可．【详解】解：七千五百万=75000000=．故选C．【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．3．（2022·福建省同安第一中学九年级一模）34表示的含义是（　　）A．3＋3＋3＋3 B．3×4 C．3×3×3×3 D．4×4×4【答案】C【分析】利用乘方的定义表示几个相同因数积的运算，即可得出答案．【详解】解：34=3×3×3×3．故选：C．【点睛】本题考查乘方的定义，掌握乘方的定义是解题关键．4．（2022·河南九年级一模）a、b两数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的有（ ）个．① ② ③ ④ ⑤A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据题意可知b＜0＜a，，所以可以判断出选项中每种情况的对错，根据对错个数选出正确的个数即可．【详解】解：根据图形可得，，且，①，故本小题错误；②，故本小题错误；③，正确；④，故本小题错误；⑤，正确，所以正确的有③⑤共2个．故选A．【点睛】本题考查了有理数的加减、乘除，数轴，绝对值等有关知识点，能够提炼关键信息并结合定理是解决问题的关键．5．（2019·河北中考模拟）计算所得的结果是（ ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据有理数的乘方的意义可知表示100个（-2）的乘积，所以，，再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可．【详解】解：故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序．6．（2022·陕西师大附中）如果温度上升1℃记作℃，那么温度下降5℃，应记作（ ）A．℃ B．℃ C．℃ D．℃【答案】B【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可；【详解】如果温度上升1℃记作+1℃，即初始温度为0℃，那么温度下降5℃记作-5℃，故选：B．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负；7．（2020·浙江）计算：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）－2；（2）5；（3）13；（4）5【分析】（。