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2008 海峽兩岸三地無線電科技研討會，台北亞東技術學院 59 色散介质色散介质 FDTD 通用吸收边界研究 第一部分：基本理论通用吸收边界研究 第一部分：基本理论 魏魏 兵兵 1，葛德彪 葛德彪 1，龚书喜 龚书喜 2 1． 西安电子科技大学物理系 中国 西安 710071 2． 西安电子科技大学天线与电磁散射国家重点实验室 中国 西安 710071 1． 西安电子科技大学物理系 中国 西安 710071 2． 西安电子科技大学天线与电磁散射国家重点实验室 中国 西安 710071 摘摘 要要 由单轴各向异性介质所满足的场方程出 发， 并根据相位匹配原理以得到介质中的色散 关系和无反射条件 结合频域到时域的转换关 系 （即用t∂ ∂代替jω） 和移位算子时域有限 差分（SO-FDTD）方法给出一种适用于各向同 性常见色散介质模型，包括德拜模型、洛仑兹 模型、德鲁模型等的通用 UPML 吸收边界 关键词关键词: FDTD，吸收边界，移位算子，色散介 质 1、前、前 言言 由于计算机容量的限制，时域有限差分 （Finite Difference Time Domain，FDTD）方 法计算只能在有限区域进行。

为了能模拟开域 电磁过程， 在计算域的截断边界处必须给出吸 收边界条件 数十年来对于吸收边界的研究一 直是 FDTD 方法中经久不衰的热点问题之一 [1]~ [6]吸收边界从最初开始的简单的差值边 界，到后来广泛采用的 Mur 吸收边界[2]，以致 于上世纪 90 年代发展起来的完全匹配层吸收 边界[4,5]，其吸收效果越来越好近年来，为 解决色散介质相关问题的吸收问题， 人们也进 行了多方面的探讨其中，卷积完全匹配层 （Convolutional Perfect Match Layer，CPML） 吸收边界是目前最为常用和有效的色散介质 吸收边界[6] 色散介质吸收边界的设置和处理与计算 域内同吸收边界相邻的色散介质类型有关 由 文献[7]， 对于单极点德拜介质， CPML 区域内 安培定律的 x 方向分量的表达式为 0 x x sxd E EJ t ε εσ ∞ ∂ ++ ∂ 11 y z yy H H yzκκ ⎛⎞∂ ∂ =−⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ y z yz H H yz ςς ∂⎛⎞ ∂ +∗−∗ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ (1) 对于其他色散介质模型，例如洛仑兹模型、德 鲁模型等。

方程(1)的右端保持形式不变， 而左 端随着介质类型的变化而变化 这一特性使得 CPML 在处理不同类型的色散介质时需要编 制不同的吸收边界程序， 算法和程序的通用性 差 本文以电色散介质 （其介电系数随频率的 变化而变化，而磁参数不变）的为例，给出一 种 基 于 移 位 算 子 时 域 有 限 差 分 方 法 （ Shift-Operator Finite Difference Time Domain, SO-FDTD）的通用色散介质吸收边 界该吸收边界建立在各向异性完全匹配层 （Uniaxial Perfect Metch Layer, UPML） 吸收边 界的基础之上 其中各向异性介质内的色散关 系、介质交界面处的无反射条件、各向异性完 全匹配层内参数的选取（包括棱边和角顶区） 等都与通常 UPML 中的处理方式一致在得 到 UPML 时域公式的过程中，将与 UPML 相 邻的色散介质的频域相对介电系数展开成为 以 jω为自变量的分式多项式形式进而得到 适用于常见各种色散介质模型的通用吸收边 界文中时谐因子取()exp j tω 2、色散介质、色散介质 UPML 的通用时域公式的通用时域公式 由参考文献[8]与 UPML 吸收层相邻介质的 参数 1 ε， 1 μ可取以下形式 2008 海峽兩岸三地無線電科技研討會，台北亞東技術學院 60 0 0 0 j j j xxx yyy zzz s s s κσωε κσωε κσωε =+ =+ =+ (2) 以下推导针对角顶区 UPML 的情况，适当简化 后可用于棱边区或平面区边界。

各向异性介质麦克斯韦旋度方程（无源） 在 时谐场情形为 j j ω ω ∇×=⋅ ∇×= −⋅ ε μ HE EH (3) 设与 UPML 相邻的色散介质的介电系数 为( )ωε1， 引 入 中 间 变 量P ， ( )() 1xzxx PssEεω=， ( )() 1yxyy PssEεω= ， ( )() 1zyzz PssEεω= ，(3)式第一式可写为 00 j00 00 zy xz yx yx zy xz HyHz HzHx HxHy sP sP sP ω ⎡⎤∂∂ −∂∂ ⎢⎥ ∂∂ −∂∂ ⎢⎥ ⎢⎥ ∂∂ −∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ (4) 取 UPML 的参数如(2)式，将(2)代入(4)式，并 利用频域到时域的转换关系t ∂∂→ωj，将 其过渡为时域公式得 0 00 00 00 00 1 00 00 zy xz yx yx zy xz yx zy xz HyHz HzHx HxHy P P t P P P P κ κ κ σ σ ε σ ⎡⎤∂∂ −∂∂ ⎢⎥ ∂∂ −∂∂ ⎢⎥ ⎢⎥ ∂∂ −∂∂ ⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤ ∂⎢ ⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ∂ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ + ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ (5) (5)式的分量式为（以 x 分量为例，下同） () 0 zy yxyx HyHz PtPκσε ∂∂ −∂∂ ∂∂ +＝ (6) (6)式与通常麦克斯韦方程直角分量式相似。

再引入中间变量 D 为 ( ) 1xx DPεω= (7) 可得 () xzxx DssE= (8) 再将(2)代入(8)式得 ()() ()() 0 0 j j xxx zzx D E κσωε κσωε + =+ (9) (9)式的时域形式为 0 0 xxxx zxzx DtD EtE κσε ε κσ ∂∂ + =∂∂ + (10) (10)式为一阶微分方程 可以证明， 常见色散介质模型包括等离子 体、德拜模型、洛仑兹模型和德鲁模型等的介 电系数( )ωε1均可以写成有理分式函数形式 [9]，即 ( )()() 1 00 jj NN nn nn nn pqεωωω == ⎡⎤⎡⎤ =⋅⋅ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ ∑∑ (11) 其中 n p和 n q为多项式系数， N 为整数 将(11) 代入(7)第一式得 ()() 00 jj NN nn nxnx nn qPpDωω == ⎡⎤⎡⎤ ⋅=⋅ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ ∑∑ (12) 按照关系t ∂∂→ωj，上式的时域形式为 ()() 00 NN nnnn nxnx nn qPtpDt == ∂∂=∂∂ ∑∑ (13) 这是一个 N 阶微分方程。

方程的阶数 N 与 UPML 相邻的介质类型有关通常情形下，工 程实际中应用时(13)是一阶或二阶的微分方 程例如单极点德拜模型为 N＝1 时的情形， 而非磁等离子体、双极点德拜模型、单极点对 洛仑兹模型和单极点的德鲁模型为 N＝2 时的 情形当 N＝2 时(13)式可写为 ()() ()() 22 012 22 012 xx xx PtqPt ppDtpDt +∂∂+∂∂ =+∂∂+∂∂ (14) 综 合 (6) 、 (14) 和 (10) 式 给 出 从 EDPH→→→的时间推进式 本文中假设色散介质的磁导系数 1 μ为常 2008 海峽兩岸三地無線電科技研討會，台北亞東技術學院 61 数，与频率无关此时可参照通常 UPML 的 方式得到 UPML 中HBE→→的时间推 进式 3、色散介质通用吸收边界、色散介质通用吸收边界 的的FDTD实现实现 下面给出方程(6)、(14)和(10)的 FDTD 形 式 3.1 磁场强度到中间变量磁场强度到中间变量 P 的递推（的递推（H→P）） 注意到(6)式与文献[8]式有相似的表达形 式，采用与该书中相似的离散方式可得 () () (){ () () ()} 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ( )1 2, , ( )1 2,1 2, 1 2,1 2, 1 2, ,1 2 1 2, ,1 2 n x n x n z z n y n y Pij k CAX mPij k CBX mHijk Hijky Hij k Hij kz + + + + + =⋅+ ⎡+⋅++ ⎣ ⎤−+−Δ ⎦ ⎡−++ ⎣ ⎤−+−Δ ⎦ (15) 式中 0 0 1( )2( ) ( ) 1( )2( ) yy yy mtm CAX m mtm σε κ σε κ ⎡⎤ ⎡⎤−Δ ⎣⎦ ⎣⎦ = ⎡⎤ ⎡⎤+Δ ⎣⎦ ⎣⎦ 0 ( ) ( ) 1( )2( ) y yy tm CBX m mtm κ σε κ Δ = ⎡⎤ ⎡⎤+Δ ⎣⎦ ⎣⎦ (16) 上式中标号()kjim,, 2 1 +=。

3.2 中间变量中间变量 P 到中间变量到中间变量 D 的递推 （的递推 （P→D）） 利用一阶、 二阶微分的中心差分近似离散 (14)中的第一式可得 11 1 1 ( )12( ) 3( )4( ) 5( )6( ) nn xx nn xx nn xx DmPDPDPm PDPmPDPm PDDmPDDm ++ − − =+⋅ +⋅+⋅ +⋅+⋅ (17) 式中 () () () () () () () () () () () 2 0012 1212 212 2112 212 1 2112 1 2 32( ) 4 52 6( ) n x n x PDqpptpt PDqtqptp PDqptpPm PDtptp PDpptp PDpptptpDm − =−Δ +Δ⎡⎤ ⎣⎦ =Δ +Δ + Δ +⎡⎤ ⎣⎦ =−ΔΔ + =Δ + −ΔΔ +⎡⎤ ⎣⎦ ＝ ＝ (18) (14)中的第二和第三式可采用与第一式相同的 方法离散 3.3 中间变量中间变量 D 到电场强度到电场强度 E 的递推 （的递推 （D→E）） 利用中心差分近似离散(10)式可得 1 1 123 n x nnn xxx E DEXDDEXDDEXE + + =⋅+⋅+⋅ (19) 式中 () 0 00 2 1 2 xx zz t DEX t κ εσ εε κσ +Δ = +Δ () () 0 00 0 0 2 2 2 2 3 2 xx zz zz zz t DEX t t DEX t σκ ε εε κσ σκ ε ε κσ Δ− = +Δ Δ− = − +Δ (20) 综上， 利用(15)式可以实现磁场强度 H 到 极化强度 P 的 FDTD 迭代，利用(17)式可以实 现极化强度 P 到电位移矢量 D 的 FDTD 迭代， 利用(19)式可以实现电位移矢量D到电场强度 E 的 FDTD 迭代。

从 E 到 H 的迭代式与通常 FDTD 的迭代式相同 致谢致谢：感谢中国博士后科学基金资助（编号： 20070421109）对本文工作的支持 参考文献参考文献 [1] Engquist B and Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. Math. Comput., July 1977, 31(139): 629~651 [2] Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagntic field equations. IEEE Trans. Electromagn. Compat., Nov. 1981, EMC-23(4): 377~382 [3] Berenger J P. A per。