小船渡河问题练习题.doc

1）船的实际运动是：水流的运动和船相对静水的运动的合运动2） 三种速度：vi （船在静水中的速度）、V2 （水流速）、v （船 的实际速度）3） 三种情景：t短=2① 过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短， vi （ d为河宽）② 过河路径最短（V2W时）：合速度垂直于河岸，航程最短， s短=d °③ 过河路径最短（V2 Vi时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂 直渡河确定方法如下：如图所示，以 V2矢量末端为圆心，以Vi矢 量的大小为半径画弧，从 V2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿 此切线方向航程最短由图可知:d.问题3:小船渡河的最值问题：一小船渡河，河宽d=180m,水流速度Vi=2.5m/s°（1） 若船在静水中的速度为V2=5m/s，求：① 欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时 间？位移是多少？② 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位 移是多少？（2） 若船在静水中的速度VzJSm/s，要使船渡河的航程最短， 船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河 岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只 影响平行河岸方向的位移。

1）若 V2 =5m/S °①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为 v2 =5m/sV21805s = 36s/v 合=Jv： +v； =5*'5m/s2I—s二v合 t =90 5m.②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸 成某一角度a垂直河岸过河这就要求v水平 "，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v2sin :，vi得：.=30s=d=180m.t 二dv2 cos30180s = 24.3s.（2）若 V2 =1.5m/s.与（1）中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移,d设合速度方向与河岸下游方向夹角为 a ,则航程"齐,欲使航程最 短，需a最大，如图所示，由出发点 A作出v1矢量，以v1矢量末端 为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线即为合速度方 向，欲使v合与水平方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合-v2sin ： =土vi 2.5 5，得 a= 37°所以船头应向上游偏37t d 型s=150sv2 cos37 1.2变式4：一艘小艇从河岸A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶， 经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示，如果小艇保持 原来的速度逆水斜向上游与河岸成 a角方向行驶，则经过12.5min恰 好到达正对岸的B处，求：河的宽度。

v合=v1 cos37 =2m/s. s=v合 t = 300m解析：设河宽为d,河水流速为v水，船速为v船，船两次运动速 度合成如图所示BC =v 水 t1依题意有：v船匕=v船sin ：左2v水COS Ji.V船由②可得V水 =12m/min由①得 sin g=0.8，故 cosg = 0.6 ,河宽t^12 10m=200m0.6变式5:船在静水中的航速为Vi，水流的速度为V2为使船行驶到河正对 岸的码头，贝S Vi相对V2的方向应为（ ）A- B. C.答案：C。