高等数学北大第二版62多元函数的极限.ppt

6-2 多元函数的极限多元函数的极限1. 二元函数的极限概念二元函数的极限概念定义定义1 设设 在点在点 的某个空心的某个空心邻域内有定义邻域内有定义,若有一常数若有一常数A,对任意给定的正数对任意给定的正数都存在正数都存在正数 ,使得当使得当时，就有时，就有则称　　　趋于　　　则称　　　趋于　　　 时　　　以Ａ为时　　　以Ａ为极限极限．　　．　　则下面定义则下面定义2 定义定义1定义定义2 设设 在点在点 的某个空心邻的某个空心邻域内有定义域内有定义,若有一常数若有一常数A,对任意给定的对任意给定的都存在一个都存在一个 　　　　,使得当使得当时，就有时，就有证证定义定义2定义定义1从而推出，当定义定义1定义定义2：：例例1证证因为例例2 设求证证证故总有 必须注意 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. •讨论 例例 3 问函数解解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 . 2. 二元函数的极限运算法则与基本性质二元函数的极限运算法则与基本性质定理定理1设设 与与 在点在点 的一的一个空心邻域内有定义个空心邻域内有定义, 若若 则则当　　时当　　时定理２定理２定理３定理３(夹逼定理夹逼定理)设设 与与 在点在点 的一的一个空心邻域内有定义个空心邻域内有定义, 且且并且当并且当 , 及及分别以　及　为极限，则　　　即分别以　及　为极限，则　　　即　　　设　　　设 与与 在点在点 的一的一个个空心邻域内有定义空心邻域内有定义, 且且若若则则 定理定理4 (复合函数的极限定理复合函数的极限定理) 设设 及及 在点在点 的一个空心邻域内有定义的一个空心邻域内有定义, 且有极限且有极限:又设又设 在点在点 的一个空心邻域内有定义的一个空心邻域内有定义,且使得当且使得当 在在 的空心邻域内时的空心邻域内时,函数函数 有定义有定义;并且当并且当 时时, 函数函数 的极限为的极限为则当则当 时时,复合函数复合函数也有极限也有极限,并且等于并且等于定理定理5 设设 是定义在是定义在 点的一个空心邻点的一个空心邻域域内的一元函数内的一元函数,且有极限且有极限 又设又设 是定义在是定义在 点的一个空点的一个空心邻域内的二元函数心邻域内的二元函数,且且则则例例4 证明证证则解解令再由定理5及例2可知那么，由定理4我们得到例例 5 求极限3. 累次极限与全面极限累次极限与全面极限累次极限累次极限例例全面极限全面极限累次极限与全面极限是累次极限与全面极限是两个完全不同的概念两个完全不同的概念例例 6 函数但k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .若两个累次极限存在, 但不相等：即使两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.累次极限与二重极限是二个不同的概念累次极限与二重极限是二个不同的概念,一般来说一般来说,它们之间没有什么必然联系它们之间没有什么必然联系.在求全面极限时不可用累次极限代替在求全面极限时不可用累次极限代替.例如，例如，函数全面极限；累次极限：不存在不存在 0不存在.又例如，函数习题习题 6-2 1. (1) (3) (5); 2. (2); 3.(1) (3); 4.(2).。