简谐运动应用.docx

t时刻质点的位移为X,速度为力则v = - A ① sin St +甲)则系统动能为：E =— mv2 =上mA2m2 sin2(ot +甲)k 2 2系统势能为：E = 1 kx2=1 kA2 cos2(mt + 甲)p 2 2因而系统的总能量为E=E +E =— mA2m2 sin2(mt + 甲儿2kA2 cos2(mt + 甲)时何关§14-5简谐运动的能量Energy of Simple Harmonic Vibration引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而 具有势能，动能和势能之和就是其能量一、简谐运动的能量1. 能量表达式(1) 推导以弹性振子为例假设在x = A cos如t + 甲)k p 2k …考虑到m 2=，则m1 1E= — mA2m 2= — kA22 2(2) 结论弹簧振子作简谐运动的能量与振 幅的平方成正比 D(3) 解释由于系统不受外力作用，并且内力为 保守力，故在简谐运动的过程中，动能与 势能相互转化，总能量保持不变4) 说明1) E-A2,对任何简谐运动皆成立；2) 动能与势能都随时间作周期性变化， 变化频率是位移与速度变化频率的两倍， 而总能量保持不变；且总能量与位移无动能E =E-E k p2.能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。

二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量f(t),在时间T内的平均值定义为f - TT f （t 怀0因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为E = T j2mA2①2 sin侦t + 甲知—4 mA 2 ① 2 — 4 kA2 0因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为E — j — kA2 cos2 ^wt + 平力t — — kA2 — — mA2①20结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等 于总能量的一半三、应用1.应用1——记忆振幅公式由能量守恒关系可得：kA2/2= mv^/2+ kx02/2 解之即得：I /、, \2.应用2——推导简谐运动相关方程在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重 力势能），且二者之和保持不变，因而有A EA=《xo +〜dt k+Ep将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐 运动的微分方程及振动周期和频率这种方法在工程实际中有着广泛的应用此方法对于研究非机械振动非常方便例1.用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即1 1 1… 八—mv 2 + — kx 2 = — kA 2 = C2 2 2两边对时间求导，得1 dv 1 dxm , 2v — + k , 2x — — 02 dt 2 dtd2x ,m - v + k - xv — 0dt 2d2 x k 八dt 2 + —x — 0m令 w 2=k m竺+w2x-0dt 2其解为X = A cosMBt + 甲)代入守恒方程可得A=A’例2.劲度系数为奴原长为/、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系 质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。

解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设f ff F — Jr dr Jr r r r . ■汗 t ♦ Jr ir 下i ]—Tm

不过当m=M时，与严格计算结果相 比较，误差也是不大于1%式中 w 2=k/ M +-m例 质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0X10'2 m作筒谐运动，其最大如速度为4 0m*s \求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置时的动能：(3) 总能景解⑴因- 20 s ' l.Gx itp m(4) 物体在何处其动能和势能相等？若温=或3加(2)因通过平街位置时的速度为最大，故tt. 1 2 1 2 aEkg =艾冲皿=y g A将已知数据代人，得=L 0 x 10 f J(3)总能景 £5,— 2.0><旷 J(4)当ElE『时,耳= 1.0X10-'J,由E产卡如徊冰得I 心1 J7刍 MUI m‘7H3工=±0.707 cm§14—6简谐运动的合成Composition of Simple Harmonic Vibration引言：在实际问题中，振动系统常常参与多个振动本节讨论一个物体同 时参与两个或两个以上振动的合成问题振动的合成在声学、光学、无线电技 术与电工学中有着广泛的应用本节主要讨论简单的情况原理：振动的合成符合叠加原理，振动也具有矢量* ——是通过振动的方 向与相位反映出来的。

一、同方向同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简i谐运动x = A cosMBt + 甲）x = A cos（»t +甲）合振动 x = x +x1. 应用解析法： 1 2x = x + x = A c o bt + 平冲 A c o wt + 甲）=（A c o 甲 + A c o 甲）c o wt -（A s i np + A s i np ）s i not112 2 112 2令：A sin p = A sin 甲 + A sin 甲，A cos p = A cos 甲 + A cos 甲112 2 112 2则：x=Acos甲 cos①t 一 A sin甲 sinot=A cosMBt + p）2. 应用旋转矢量法：A「A2大小不变，且以共同角速度3旋转，它们的相对位置不变，即夹角G -p ）保持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度3绕O作逆2 1时针旋转，故合成振动也是简谐运动Da = ■/ATTATT'^AT'COS^^'^^OA sin 甲 + A sin 甲A cos甲 + A cos甲x = A cos(Bl + 甲)圆频率：初相位:合振幅：合振动：3.1)2)讨论：合振动仍然是简谐运动，且频率仍为3 ;合振动的振幅不仅与A］、A2有关，而且还与相位差02-甲1）有关。

若甲一甲=2k兀，k = 0,±1,±2,…，则1 1 2合振幅等于分振幅之和k = 0,±1,±2,…，则0coskp —p ）= —1， A = A — A一 一 1 2即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值cos（p —p ）= 1，A= A +A即两个分振动同相时，若 p —p =（2k+1）r2 1cos（,2 ,一般情况下，合振动的振幅则在| A" A2 3）上述结论可以推广到多个同方向同频率简谐之 运动的合成，即x = A cosMBt + 甲 2 i = 1,2, , n,i^nX = Y X也是简谐运动ii=1合振动：X = A cos（Bt +甲）A和中也可以用一般矢量求和的方法得到二、同方向不同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐运动x = A cos如 t + 甲）X = A cos（B t + 甲）合振动 X = X +X■ 21相 位 差 + 0 2 —g）随时间变化-由于△甲=Oo -①〃故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐 运动 这里只讨 A = A = A，V +V >> V差很小，这里只平=甲=0,-V I的情形，即两个频率相1 1 2此时与A +A之间。

振动1，=A cos ① t=A cos 2kv t1 1 0 1x = A cos ① t=A cos 2kv t2 2 2 0 2x = x + x = A c o 2kv t + A c o 2kv tV +v 1121 2 0 1 0 2=2 A c o 2兀 ~t c o 2k"0 2 JV +Vt随时间变化比cos2k\— t要缓慢得多，因V -V由于 2A cos 2k t 1此可以近似地将合振动看成是振幅按V -V2A cos 2k 110 2缓慢变化得角频率为V +v的“准周期运动”这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）第12讲机械振动一一简谐运动的应用 即合振动的频率为：土孕！ 合振幅变化的周期：T = 1/|v —V1 2 1拍频：V = V —VI 2用旋转矢量法理解： _假设V2 >V 1，所以A比 、 、 、4转动得快，当气转到与q 反方向位置时，一合振幅最小;当A转到与A同方向位置时，合振幅最大，并且这种变化是周期性的拍的应用：• 用音叉的振动来校准乐器；• 利用拍的规律测量超声波的频率；• 在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制三、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成问题：某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动x 方向： x = A cosOot + 甲）y 方向： y = A cosCot + 甲）x改写为： 一=cos ot cos 中 —sin ot sin 中iy——=cosot cos中 一 sin ot sin 中2分别对上述两式乘以cos^t sinst，并相加，可得—+ — — -A^A- cos（p 一甲）=sin 2 （p 一甲）1 2 1这是椭圆方程，其形状由分振动的振幅A「A2和相位差△甲=P -甲确定：（1 ） △甲=甲一甲=0时，A 2 1y = 了 x，轨迹为直线（简谐运动）；A1（2 ） △甲=p —p =兀时，A 2 1y = -。