人教版初三数学上册知识点总结.docx

左：简单初中生(jd100cz) 中：简单好家长(jd100jz) 右：扫码 0 元领课限时听九年级数学上册知识点第二十一章 一元二次方程22.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程知识点二 一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 其中，ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项知识点三 一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根方程的解的定义是解方程过程中验根的依据22.2 解一元二次方程知识点一 直接开平方法解一元二次方程第 9 页 共 23 页(1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方一般地，对于形如 x2 = a(a ³ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得aax1 = + x2 = - .(2) 直接开平方法适用于解形如 x2 = p 或（mx + a）2 = p(m ¹ 0) 形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

3) 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根知识点二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开1)把常数项移到等号的右边； (2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； (4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解22.2.2 公式法知识点一 公式法解一元二次方程(1) 一般地，对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) ，如果b2 - 4ac ³ 0 ，那么方程的两个根为x = ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，- b ± b2 - 4ac2a利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

2) 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的过程3) 公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式： ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) ，一般 a 化为正值②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号；③求出b2 - 4ac 的值；④若b2 - 4ac ³ 0 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，b2 - 4ac < 0 ，则方程无实数根知识点二 一元二次方程根的判别式式子b2 - 4ac 叫做方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即D = b2 - 4ac ,D > 0 ，方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 有两个不相等的实数根一元二次方程根的 判别式△=0 ，方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 有两个相等的实数根△＜0，方程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 无实数根22.2.3 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程(1) 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

2) 因式分解法的详细步骤：① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解知识点二 用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形 如 x 2 = p 或 mx + n ）2 = p ( p ³ 0 )配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=0，则a=0 或b=0一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x 2 +px + q = 0 的两个根为 x1 ,x2 则有x1 + x 2 = - p, x1 x 2 = qc若 一 元 二 次 方 程ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0)有 两 个 实 数 根x1 ，x2 则 有x 1 + x 2= - b a, x 1 x 2 = a22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1) 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

2) 设：是指设元，也就是设出未知数3) 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程4) 解：就是解方程，求出未知数的值5) 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意6)答：写出答案知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1) 数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c.(2) 增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1± x)2 = b(3) 利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率(4) 图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

第二十二章 二次函数知识点一：二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如 y = ax2 + bx + c ( a ，b ，c 是常数， a ¹ 0 )的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质ÞÞ 抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数 y = a ( x - h )2 + k 的图象与性质(1) 二次函数基本形式 y = ax2 的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小(2) y = ax2 + c 的图象与性质：上加下减(3) y = a ( x - h )2 的图象与性质：左加右减(4) 二次函数 y = a ( x - h )2 + k 的图象与性质3. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与性质bæ - b4ac - b2 ö(1) 当a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为ç 2a ， 4a ÷ ．当 x < - b2ay时，y 随 x 的增大而减小；当 x > - b2a4ac - b2è ø时，y 随 x 的增大而增大；当 x = - b2a时， 有最小值 ．4ab æ - b4ac - b2 ö(2) 当a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为ç 2a ， 4a ÷ ．当 x < - b2ay时，y 随 x 的增大而增大；当 x > - b2a4ac - b2è ø时，y 随 x 的增大而减小；当 x = - b2a时， 有最大值 ．4a4. 二次函数常见方法指导(1)二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的画法①画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线)利用配方法将二次函数 y = ax2 + bx + c 化为顶点式 y = a(x - h)2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，顶点. (2)二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h )2 + k ，确定其顶点坐标(h ，k ) ；可以由抛物线 y = ax2 经过适当的平移得到。

具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．(3) 用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对（x, y），的值，通常选择一般式.②顶点式： .已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与 轴的交点坐标 、，通常选择交点式.(4) 求抛物线的顶点、对称轴的方法aç x①公式法：y = ax 2 + bx + c = æ +b ö2÷+ 4ac - b 2，∴顶点是（ -b 4ac - b 2， ），对称轴是直线 x = - b .2aè 2a ø 4a2a 4a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a(x - h)2 + k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x = h .③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.(5) 抛物线 y = ax 2 + bx + c 中， a, b, c 的作用① a 决定开口方向及开口大小，这与 y = ax 2 中的a 完全一样.② b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线 x = - b ，故2a如果b = 0 时，对称轴为 y 轴；如果 b > 0 (即a 、b 同号)时，对称轴在 y 轴左侧；a如果 b < 0 (即a 、b 异号)时，对称轴在 y 轴右侧.a③ c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置。