第六章二次曲线仿射理论与度量理论.doc

6.4二阶曲线的主轴、焦点、与准线一、 主轴1、 定义：二阶曲线的一条直径如果平分和它垂直的弦，则此直径叫做主轴 2、 主轴. 主轴与曲线的有穷交点叫做顶点 或简述为：垂直平分一组弦的直径叫做主直径 顶点由定义可见，二阶曲线关于主轴是对称的，故主轴也叫对称轴下面讨论不同曲线的主轴，顶点的个数1） 抛物线的主轴一条，顶点一个定理：29.1抛物线有唯一主轴，唯一顶点主轴是抛物线 顶点上无穷远点关于两个圆环点的调和共轭点的极线证明：如图∵主轴L是直径，故过，P∞VI顶点为V，设V上无穷远点为，L垂直与顶点V的切线（平行弦的极限位置）J则（由拉格尔定理推论）Q∞∵曲线S上唯一确定，故唯一而的极线是过，V的直线即主轴(注意上证与共轭，V的极线（切线）过，的极线过V，用到配极原则)而V是主轴与二阶曲线（抛物线）的唯一有穷交点，即有唯一定点⑵.有心二次曲线1. 圆的任一对共轭直径都互相垂直，故主轴无穷多由 圆的=0 有 互相垂直）2. 除圆以外，有心二次曲线只有一对主轴是渐进线的两个角平分线，定点有4个。

证明：（可不讲）由26习题3，即由于渐进线是自共轭直径，由于也是对合方程，自共轭即知渐进线是此对合的不变直线，而渐进线及其内、外角平分线的线调和共轭（P97.例3）（回到渐进线交于中心）P∞VIJQ∞主轴CA，CB，CA⊥CB，则（CACB，CICJ）=-1，又CA′，CB′，CA′⊥CB′，则（CA′，CB′，CICJ）=-1即Th（14，3）对合二重元与任一对对合元素调和共轭，故渐进线的一对对角平分线是一对主轴 下证唯一性，若再有一对主轴，即由两对主轴所决定的 射影对应，也是对合对应中每一对主直径互相垂直，则由于（自共轭）故渐进线与自身成为此对应中的对应直径即为此对应中的不变直线，而CI，CJ为不变直线（注：即自共轭直径，即渐进线，因渐进线是曲线与无穷远直线交点处的切线，故I，J在曲线上，从而曲线过圆环点而为圆C为中心）这与假设矛盾，所以只有两条渐进线的角平分线过一对主轴，4个顶点作用：用主轴（对称轴）可求曲线的标准方程（解析几何）2、主轴的方程（1）对有心二阶曲线 共轭直径垂直（∵由Th26，直径平分共轭直径的一组平行弦，主轴不但平分且垂直，即主轴垂直于其共轭直径，即主轴的共轭直径是另一主轴） 共轭条件： （*） 垂直 又由（*）( )由 =即=即 ① 即 特征方程 =0求出特征根代入①解出再代入直径方程即主轴（2）无心曲线即抛物线直径都过中心即即（ ， ，0）P∞NHML∞（MN，H P∞）=-1若一直径垂直它所平分的弦则弦的无穷远点为即（A32，-A31，0）则它是（A32，-A31，0）的极线即二、焦点与准线1、焦点的定义：过I，J引二次曲线的切线 这些切线在有穷处的交点称为二次曲线的焦点2、准线定义：焦点关于二次曲线的极线下面证明用这样的意义所得到的实焦点或准线就是通常的焦点或准线。

⑴抛物线： 设抛物线，则可作两条迷向切线（即通过圆环点的有穷切线） 即由 ① ② ②代入① 有唯一解（切点横坐标） 迷向切线为同理 另一条迷向切线为 （29.2）求有穷交点： ① ② ①+② ①② 焦点为求准线：准线d： dEIJ 即 即由此可见，迷向直线的切点在准线上，焦点在主轴上，如图（迷向直线的切点在准线上，如图E的极点过切点）焦点在主轴上理由：二迷向直线与二重直线成调和共轭，且即为主轴，见P221 29-1）于是有定理29.3 抛物线有两条（迷向切线）一个焦点，一条准线，焦点在主轴上，迷向切线的切点在准线上2）椭圆设椭圆方程为可作四条迷向切线，其方程可同上述抛物线迷向切线求法，有： （29.3） 由(29.3)解得不同迷向直线交点为，与，，其中，是轴上的实点，，是轴上的共轭虚点，故知有四个焦点（两实两虚）分别在两条主轴上四个焦点对应的2： 求法： 即 其他同法故有定理29.4.实椭圆有四条迷向切线，（每两条是同类），四个焦点（两实两虚）分别在两主轴上，四条准线（两实两虚），迷向切线的切点在对应准线上。

3、如何求焦点与准线（1）方法1.见书P225公式： 焦点公式证明：设焦点P（P1，P2，P3）切线为SPPS=SP2 展开为二次方程∵P点的切线过I，J，即此二次方程（二条切线）是退化圆，满足圆的方程∴公式成立（2）方法2.1，先求迷向切线 设为 代入，根据相切的条件决定h的值，相切只有一个交点，∵代入后为关于的二次方程相切有唯一交点，唯一，定出，求出迷向切线再求不同类迷向切线的交点，即焦点⑶.用极线公式求出焦点极线即为准线例：已知抛物线试求其焦点，准线，主轴，顶点解： 由 切线 焦点 准线对S的极线主轴主轴顶点：S=0 配方代入 ∴顶点为。