非线性_线性二层规划问题的罚函数方法_吕一兵.pdf

系统科学J .勺5. Sc i . ,w ?, ??,v?)任argm a x ! F ( x,夕 )一无 (??+ v, ):(x,夕 ,二 )任z ,( u,v)任S ? lF (x;,y ?) 一k(??? * + v ?, ?) 全F (x*,夕 *)一无 (? *?* + ? *, *),u无 叨人+ v无 岑 无三旦塑些上兰竺丛鱼 kZ,且 (x*, ,, ? , ,二?,)以及 (x*2,, ? :, ?? 2)为罚问题 (4) 取罚 因子 kl, k: 所得到的最优解, 那么有 F (纵, ,叭1)三F (跳2,珑2), 即目标函数对于罚因子是单调不增的. 由此可以通过求解间题 (4) 得到 (N LB P )的最优解. 事实上可以得 到如下结果.定理2.5假设条件 (H ) 满足, 且 {(x ?,万 ?, ? *,二?, ? ;)} 为问题 (4) 的最优解序f I J ,k 任R + .那么存在 k *任R + , 使得对所有的 k 全k * , (x*,纵) 为间题 (N LB P )的最优解.证 事实上, 取 k *= kl, 由定理 2. 2 , 定理 2 . 3 显然成立. 定理 2. 3 表 明该罚函数为精确罚函数, 这也表明文中所设计的算法具有有限终止性. 下面的定理是本文的主要结果, 以判断间题 (N LB P ) 的解的最优性 . 定理2.4假设条件 (H ) 满足,(? ,v), (? ,,v ? ) 任S ? . 且对于 k ?R + , (二 ?, ? ?,二?) 为I ? e d 题( 二 ,咒轰 :囚 ? , ?)一 无 河?+ 吻) J 的 最 优 解.那么,Q ? (? ,v)全Q*( u? ,v? )一 无 ( 二 一?? , ?一v? )( 二 万 ,y万 )T.证由于 (x ?,, ?,w ?) 为间题 Q *(?? , ? ? ) 的最优解, 则Q *(? ,,v ? )= F (x ?,夕?)一k(?? 二?+ v,, ?),(5)又由于Q *(u,v) 全F (x*,夕 ?)一无 (二 二?+ vy ?),(6)由( 5)和 ( 6)式, 可以得到Q ? ( 二 ,v)全Q ? (? ? , ?? )一k(?一?? , ?一? ? )( w万 ,夕 万 ) T.634系统科学与数学29 卷注 3令?(二 ,, ??=11lln (?,v)?S ?(?一?? ,v一 v? )(? 万 ,,万 ) T.由定理 2. 4, 如果 a (?? ,v ? ) o(k 充分大), (? o,vo) 任S ?以及 入> o, 乞 = 0 ?步骤 2?(?? ,v ? ).求 气 默稚 二 [ F( ,,?)一 k(?? w+v? ? ) ] ,得 到 最 优 解( x? ,? ? ,w? )? 求解扣 罗乳, (?一?? ,v一?? )[ (? ) T,(?? ) T] T, 得到最优解 (??, ??)以 及最优值步骤 31) 如果 a (? ? ,v ? ) o, 令 无 = k+ 入 , 乞 = 云 , 转 步骤 一 3)如果 a (二? , ?? ) 2 0 且 ?? ??+ ? ? , ?= o, 那么非线性二层规划的最优解为 (x ? ,, ? ,二? ) 为了说明上述算法的计算过程, 不妨考虑如下算例 [ v ] .n ?只X公F (x,, ) = 一 xZ 一, 2 + 16x + sx,5. t.0 三 x 三 20,m a x f (x,, ) = ,Vs. t. x + 夕一 20 三 0,O 三 夕丛 10.(7)首先以下层间题的 K 一 T 最优性条件代替下层问题, 并取互补松弛条件为罚 函数. 可得到如下问题m a x一 xZ 一, 2 + 16x + sx, 一k(二 lw :+ uZ叨 : + v, )5. t.x + y +w l =20,u i +u Z 一 u=1,夕+叨2 =1 0 ,x + 叨3 =2 0 ,x ,夕 , 牡 , v , w全 0.求解过程如下步骤 0 选取 k = Zo n步骤 1 求解n 飞匀X ( 二 ,, ,? )任 Z以及步长 入= 10, (uo,vo) = (1,0,o).一 护 一沪+ 1 6 x + 5 x 夕 一2 0 0m l, 得到最优解(x,, , ?)= (11.14,8.86,0,1.14,8. 86)5 期吕一兵等: 非线性 一 线性二层规划问题的罚函数方法635步 骤? 求 解( 姗乳 ,(? ? ? 4?, + ?? 86? ) ,最 优 解(??, ?? )一 (? ,0,0),其 最 优 值?(?? ,v? )一 0?步骤 3由于 a (? 0, ? o) = 0 且 二 1二 1 + ? 2 ? : + vy = o, 故非线性二层规划的最优 解为 (x*,, *) = (11.14,5 86). 利用本算法得到的最优解与参考文献中的结果相符, 并且由算法的实现过程可以看到, 只需求解一系列一般的非线性规划 以及线性规划就得到了该类非线性二层规划的最优解.相比于文献 [ 0 ]中必须得到下层对偶问题可行域的所有顶点, 本文中提出的求解方法更具有 实用价值.4小结本文以下层间题的 K 一 T 最优性条件代替下层问题 , 将下层为线性规划的一类非线性二层规划转化为相应的单层规划, 同时取下层问题的互补条件为罚项构造了非线性二层规划 的相应的罚间题. 通过对所构造罚问题性质的分析 , 给 出了该类非线性二层规划解的存在性定理, 同时提出了一种只需求解一系列非线性规划 以及线性规划就得到该类非线性二层规 划的最优解的简单方法 .然而值得指 出的是利用本文 的算法所得到的最优解与 (砂,沪) 的选取有很大关系, 如果 (俨,俨) 选取恰当可以得到全局最优解 , 否则 只能得到该类非线性二层规划 的局部最优解. 如何有效地得到该类非线性二层规划的全局最优解值得继续研究. 另外, 如果下层间题的目标函数以及约束条件是非线性的, 如何以线性函数代替它们以利用本文中的算法求解, 也是值得继续研究的.参考文献{ l ]腾春贤, 李智慧. 二层规划的理论与应用. 北京: 科学出版社,20 0 2 . ! 2 ]Ba r d J F .Som e proper t i es ofthe bil ev e lli nea r pro盯am m ing. J O ??alo f 即 ?二 云 z a t乞 oo T h c o 印 二d A P P瓦 ea沉?彻 , 199 1 , 3 2 : 14于 164 .[ 3? V i eente L , sa v a rd G , Judiee J.Deseen t 即 proa c hes f o r qua d ra t ie bi l e velpro盯a mm i ng ?J o ?二alo j O P t葱 饥 乞 zat乞 00 T h c o 印 aod A即瓦 eat云 005, 1994, 81(2):379e e399 ? [ 4 ? Ba r d J F.pra c tiea l B i lev e lO pti~a t ion:A lgori thm a n d A ppli ea t ions ? K l u w erA ea d em ie publi sh-ers, D o rd reeh t, 199 8 . { 5? D em pe 5.F o unda t ion ofB i l e velp ro盯 a mm ing.K lu w er A ea d em i e P ubl lshers, London, 2002? [ 0 ]刘国山, 韩继业, 汪寿阳. 双层优化间题的信赖域算法. 科学通报,1998, 43(4):383一 387. [ v l仲伟俊, 徐南荣. 两层决策的波尔兹曼机方法. 系 统工程学报,1 9 9 5 , 1o ( l ) :7 - - 13 .1 8 1Closon B , M a r eotte P, Sa v a rd G .A trust一 r e gion m ethod f o r nonli nea rbi l e v e lprogra j n u ni ng: Alg ?rithm a n d eom puta t iona l experi enee. C O 哪p ? 亡 at? ooal即亡 云 ?乞 zat? on and A 即瓦 ea?o ? , 2005, 30(3): 2 11一22 7 .{ 9 ? 认 恤 ng G M , 认 厄 ng x J, et a l ? A globa l l y eon v er罗 n talgori thmf o r a cl a s s of bil ev e l nonl i n ea rp ro g r a m m i n g P rob l e m . A P PI坛 e dM 往 亡 h e饥 a 亡 乞 e吕a 几 d C O爪P u 艺 a亡 坛 ?几 , 2 00 7 , 1 8 8 : 16 企 172 . 110lL位Y B , H u T S, 认 厄 n 2 p.A pena l ty f u nc t ion m ethod ba s ed on K uhn一 T u ckereondition f o rsol v i ngl in ea rb i lev el P ro g r a m面 n g . A P P 瓦 ed Mat h e饥a红 eo an dC O仇P u ta t葱 on , 20 07 , 1 8 8 : 8 08 - -81 3 .636系统科学与数学29 卷? 111ShiC , Zha n g G , Lu J.O n the def ini ti on ofli near bi lev e lpro盯 am m ing soluti on ?A即l 乞 ed M athe-m a t 乞 eo an d C Om p 肠 ta t乞 ? 几 , 20 0 5 , 1 6 0 : 16 9一173 .AP E N A L T YF U N C T IO NME T H O DF O RS O L V IN GN O N L IN E A R 一 L IN E A RB IL E V E LP R O G R A MMIN GP R O B L E 入 1L UY ib i n gC H E NZ ho ng(S c hoolo f lhf o 二at? 00 and M atheo at? cs, Y a 叼劫 e U n? ve二乞 忿 v, 五 叼功? ?434023)认叭 NZ h ongP ing(Sehoolo f M at h eo at 乞 eo aod Stat 云 ? ?es, 环 乞 人 an 饰 ? ? e?乞 t 夕 , 1 币 呱 han 430072)W A N GG u an gm in(Sehoolo f M an叩em e? 忿 , C h? na U n 乞 ver s 乞 t, o f G eose云 eoees, W 吐 han 430074)A b stra etB y u sing th e K uh n一 T uek er oP tim al ity eon dition o f the l o w er lev el Pro blem , aela s s of nou l in ear bilev el P rogram m ing Prob lem , w h ose low er lev el P rob l em15 linea rP rogram - 而 ng prob lem , 。