高中数学复习学(教)案(第75讲)函数的极限与连续性.doc

题目 (选修Ⅱ)第二章极限函数的极限与连续性高考要求 　　1了解函数极限的概念 2掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限 3了解函数连续的意义，4理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 知识点归纳 1函数极限的定义:(1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a记作：f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a记作f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a，记作：f(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a2常数函数f(x)=c(x∈R)，有f(x)=cf(x)存在，表示f(x)和f(x)都存在，且两者相等所以f(x)中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限an中的∞仅有+∞的意义 3 趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作特别地，； 4 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限 5 对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么,, 当C是常数，n是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用 6 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续7函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数8函数f(x)在［a，b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数9最大值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1)10最小值f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2)11最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 12极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(型），通过变形使得各式有极限；根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；题型讲解 例1 求下列各极限：（1） （；（2）（－x）；（3） ；（4） 分析：若f （x）在x0处连续，则应有f （x）=f （x0）,故求f （x）在连续点x0处的极限时，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0处不连续，可通过变形，消去x－x0因式，转化成可直接求f（x0）的式子解:（1）原式＝＝=－（2）原式==a+b（3）因为=1,而==－1，≠,所以不存在．（4）原式=＝（cos+sin）＝例2 （1）设f（x）=;（2）f （x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,当且仅当b=2时, f （x）= f （x）,故b=2时,原极限存在（2）由于f（x）是多项式,且=1,∴可设f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）又∵=5,即（4x2+x+a+）=5,∴a=5,b=0, 即f （x）=4x3+x2+5x点评:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化例3 讨论函数f （x）= ·x （0≤x＜+∞）的连续性，并作出函数图象分析:应先求出f （x）的解析式，再判断连续性解:当0≤x＜1时，f （x）= x=x;当x＞1时，f （x）= ·x=·x=－x;当x=1时，f （x）=0∴f （x）=∵f（x）=（－x）=－1,f（x）= x=1,∴f（x）不存在∴f （x）在x=1处不连续，f （x）在定义域内的其余点都连续图象如图所示 点评:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性例4 （1）讨论函数f（x）=（2）讨论函数f（x）=在区间［0,3］上的连续性分析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续解:（1）∵f（x）=－1, f（x）=1,f（x）≠f（x）,∴f（x）不存在∴f（x）在x=0处不连续（2）∵f（x）在x=3处无定义,∴f（x）在x=3处不连续∴f（x）在区间［0,3］上不连续例5 设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的点评：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性例6 求下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3） （4）点评：有理分式函数求极限的问题，其解题依据是函数极限的四则运算法则应用极限运算法则必须保证该法则成立的条件，若条件不具备，则需对函数式变形！变形的基本途径有三条：在分式极限中除以的最高次幂；在分式极限中约去可能存在的零因子；当与均不存在时，求时，应该对进行运算例7 讨论下列函数在给定点处的连续性（1），点；（2），点；（3），点解（1）因为在点处无定义，所以在点处不连续（2）因为当时，，所以又时，，所以所以故不存在，故在点处不连续（3）因为所，故在点处连续点评：①连续性定义是判断函数在给定点处是否连续的依据，也可以先作函数的图象，再从图象直观上作出判断，从直观上看，一个函数在—处连续是指这个函数的图象在—处没有中断②在研究分段函数在分段点—处的连续性时，先求在—处的左右极限，再检验其在—处的极限是否存在；若存在，则进一步验证在分段点处的极限值是否与分段点处的函数值相等换言之，判断分段函数—在其分段点—处连续的基本依据是：例8 函数在闭区间上的最大值是 ，最小值是 分析：由于在闭区间上连续，由图可知，当时，取最小值；当时，取最大值点评：求连续函数在给定闭区间上的最大值和最小值的依据是连续函数的最值定理该定理只说明了最值的存在性，在何处获得最值，可结合函数的图象作出判断小结：1 f（x）=Af（x）= f（x）=A,f（x）=Af（x）=f（x）=A2函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数f（x）在x=x0处及其附近有定义；（2）f（x）存在；（3） f（x）=f（x0）3会熟练应用常见技巧求一些函数的极限4 在学习过程中，要弄清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象弄清处连续性的意义5函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注6在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但要注意类似于与的区别学生练习 1f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案:C2f（x）=下列结论正确的是A=f（x） B=2，不存在C f （x）≠f （x） D f （x）=0, 不存在答案: C3函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案:A4已知函数f (x)是偶函数,且f (x)=a,则下列结论一定正确的是A f (x)=－a B f （x）=aC f (x)=|a| D f（x）=|a|解析：∵f （x）是偶函数,∴f （－x）=f（x）又f （x）=a, f（－x）=a, f （x）=f （－x）,∴f（－x）= f （x）=a答案：B5等于A B1 C D解析:∵=答案:A6f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续答案：A7f（x）=的不连续点为Ax=0Bx=（k=0,±1,±2,…）Cx=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）Dx=0和x=（k=0,±1,±2,…）解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=又x=0也不是连续点,故选D答案：D8函数f（x）=则有Af（x）在x=1处不连续 Bf（x）在x=2处不连续Cf（x）在x=1和x=2处不连续 Df（x）处处连续解析：f（x）=0, f（x）=1,∴f（x）在x=1处不连续答案：A9若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上A一定连续 B一定不连续 C可能连续也可能不连续 D以上均不正确解析：有定义不一定连续答案：C10 =________________解析: ===3答案:311若=2,则a=__________解析: =2,∴=2∴a=4答案:412已知函数y=f （x）在点x=x0处存在极限,且f （x）=a2－2,f （x）=2a+1,则函数y=f （x）在点x=x0处的极限是____________解析:∵y=f（x）在x=x0处存在极限,∴f（x）=f（x）,即a2－2=2a+1∴a=－1或a=3∴f （x）=2a+1=－1或7答案:－1或713若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=______解析:∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=f （x）,f （x）= = =答案:14四个函数:①f（x）=;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d其中在x=0处连续的函数是____________（把你认为正确的代号都填上）答案：②③④15求y=f（x）=的不连续点解：易求f（x）的定义域为{x|x≠－1,0,1},所以f（x）的不连续点为x=－1,x=0和x=116设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f(x)=0,f(x)=－3,求出这一函数最大值解:∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c∴b=0∴f （x）=ax2+c又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）。