浅析函数图象的斜率在中学物理中的应用.doc

浅析函数图象的斜率在中学物理中的应用纵观近些年的各地高考试题，运用函数图象进行实际物理问题的分 析与表达依然是一个热点问题•物理问题图形化分析，呈数学之“形”，载 物理Z “质”，能够清晰、形象地呈现物理量Z间的关系，化文字表征、 符号表征为图形表征，充分展现了物理的学科魅力.图象法在高中物理中 的应用很多，本文选择函数图象的斜率这一视角进行探讨，望能起到抛砖 引玉之功效.函数图象的斜率反映了直角处标系中某点纵、横坐标代表的两个物理 量的比值，往往与一个或几个重要的物理量相对应.1函数图象的斜率在力学问题中的应用1.1借助于匀速直线运动的X-L图象的斜率求速度匀速直线运动的位移随时间均匀变化，x-t图象是一条倾斜的直线， 如图1所示，el、b、c、d图线均表示匀速直线运动，相互平行的“、b图 线表示物体开始运动的初始位置不同，速度相同；&、c图线表示物体运动 的速度方向相同，vc>va； a、d图线则反应物体运动的速度方向不一样.运用x-t图象可以很直观地解决运动学问题.例1张老师在渔湾水道逆流划船游玩，经过桥洞（可视为一个点位） 时，船上的竹制茶杯不慎掉到河里，张老师没能立刻发现，小船继续逆行 一段距离后才发现，接着立即掉头追赶，返航10 min追上茶杯，此时距桥洞1 km,设张老师静水划船的速率始终不变，小船调头的时间可忽略, 求渔湾水道河水的流速.解析从小船经过桥洞开始计时，设水流的速度大小为vO,张老师划船 的速度大小为v,发现茶杯丢失并返航的时刻记为tO,作出茶杯和小船的 位移随时间变化的图象如图2所示(甲表示茶杯的运动；小船的运动分两 段如乙和丙所示)，通过图象直观地显示了位置、速度随时间的变化关系, 而待求量渔湾水道河水的流速则转化为求图2中直线甲的斜率，有 -vO=k=x/t,显然求岀时间t即可求得v0・由图2可知：丙直线过A、B两点，A点坐标[tO, (v-vO) tO], B点坐标[t, -vOt], 则丙直线的斜率可表示为k丙二-vOt- (v-vO) tOlt-tO, 乂 k丙二- (v+vO), 由此可解得 t=2t0,则-v0=k=xl2t0,其中 x=-l km, t0=10 min,代入解 得 v0=3 km/h.1. 2借助x-t图象切线斜率的变化比较速度如果物体做非匀速直线运动，通过x-l图象如何求瞬时速度呢？由v二A xl A t可知，当A t —0时，平均速度v的大小近似为瞬时速度的大小， 在x-t图象上应为该时刻切线的斜率•如图3所表示的直线运动中，通过 观察图彖切线斜率的变化可知质点运动的速率越来越小.1. 3借助于v-t图象切线斜率的变化比较加速度x-l图象切线的斜率表示瞬时速度，同样可以推理得v-t图象切线的 斜率能表示加速度a,切线斜率的变化可以反映加速度大小的改变.例2木块A、B质量相同，现用一轻弹簧将两者连接置于光滑的水平 面上，开始时弹簧长度为原长，如图4所示，现给A施加一水平恒力F, 弹簧第一次被压缩至最短的过程中，有一个时刻A、B速度相同，试分析 此时A、B加速度的大小关系？与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足A. lan二sin O B. Ian二cos 0C・ tan=tan 0 D. tan=2tan 0解析如图13所示，斜曲倾角0即为物体位移与水平方向Z间的夹角, 故tan 9=ylx=112gt21v0t=gtl2v0,而 tan二vylvO二gtlvO,所以tan=2tan 0 ,即答案为D.变式2如图14所示，在斜面上的0点先后以vO和2v0水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为：A. 1： 2 B. 1： 3 C. 1： 4 D. 1： 5解析：两小球可能全落在斜面上，也 可能全落在水平面上，还有可能一个球落在斜面上，另一个球落在水平面 上•若两小球全落在斜面上，由变式1的解析可知小球运动时间，水平位 移，所以•若两小球全落在水平血上，则有，所以•若一个球落在斜面 上，另一个球落在水平面上，则•故本题应选A、B、C.变式3 （2012年 温州三模卷）如图15所示，AB为倾角为9的斜面•将小球（视为质点）从 A点以初速vO与斜面成ci角抛出，恰好落在斜面底端的B点.若不计空气 阻力，则AB间的距离s应为A. B. C. D.解析：这题如果用斜上抛运动（分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动）的方法处理，对学生的数学要求很高，学生很难得出正确的答案•但如果令a二。

则小球作平抛运动，问题得到简化•若小球作平抛运动，则平抛时间，水 平位移，则AB间的距离•将ci二0代入四个选项可知，答案为C.点评斜 而上平抛运动最显著的特点就是可以充分利用斜而倾角展开思维•很显 然，如果物体从斜面抛出又落在斜面上，斜面倾角B与水平、竖直分位移 之间满足tanO=ylx；速度与水平方向的夹角与水平、竖直分速度之间满 足 tan=vylvx, 且 tan=2tan 9 ・平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出 不穷•平抛运动与斜面、曲面相结合问题，要注意建立速度角、位移角与 斜面倾角等几何角之间的关系，这往往是解题的突破口•若能切实掌握平 抛运动的规律、特点及其基本处理方法，就不难解决平抛问题•因此在复 习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力•解析在弹 簧压缩过程中，隔离A、B进行受力分析，对A有：F-kx=maA,弹簧形变 量变大，A做加速度减小的加速运动；对B有：kx=maB, B做加速度增大 的加速运动•定性画出A、B运动的v-l图象如图5所示，交点C表示此时 两者速度相同，可以直观地看出该处B切线的斜率大于A的斜率，即aB>aA.1・4借助于a-F （或a-11M）图象的斜率求质量（或拉力） 探究加速度与力、质量的关系是高一阶段重要的探究性实验之一，实验中运用 图象法可以直观地反映相关物理量之间的关系•根据实验图象还能获取诸 多信息，如借助8-卩图象的斜率求质量、借助a-llM图象的斜率求拉力.例3某同学探究加速度与合力的关系，由丁未平衡摩擦力，得到如图 6所示的图象，试求出实验中所用小车的质量.解析由图6可得a-F图线的方程为：a二0.2F-4,根据题意，由于未平衡摩擦力，可列出牛顿第二定律的方程：F-p Mg=Ma,于是有a=FlM-u g, 则函数图象的斜率k=HM=O. 2,解得M二5 kg.2函数图象的斜率在电学实验数据处理中的应用电学实验是高考的重点,借助于函数图象的斜率求电学量是常见的问 题.2. 1U-I图（或I-U图）的斜率求阻值R（1） 伏安法测未知电阻Rx阻值的实验中，采用作图法进行数据处理 得到过原点的直线如图7所示，图象的斜率ER.（2） 描绘小灯泡的伏安特性曲线的实验中，描点连图作出I-U图线 如图8所示，电压为U0时，小灯泡的阻值R二U01T0,为U0所对应图象点 P0的横、纵坐标的比值，而不是P0点切线的斜率的倒数，而是P0与原点 连线的斜率的倒数（即割线的斜率的倒数），通过图形可以看出图象上的 点与原点连线的斜率随着U （或I）的增大而减少，进而得出随着电流变 大，小灯泡的阻值将变大的实验结论.2. 2函数图象的斜率在测电源电动势及其内阻实验中的作用关于测电源电动势及其内阻的实验，教材中给出了3种测量方法，传 统的伏安法、安阻法和伏阻法•为了提高实验的效果，帮助学生更好地掌 握实验方法，提升物理科学素养，笔者认为应该和学生一起从闭合电路欧 姆定律出发，先进行定性的分析，论证实验的可行性后再进行实验方案的 确立和实践•如图9所示，电源电动势E、内阻为门 外电路阻值为R,要 求学牛运用闭合电路欧姆定律分析电路中路端电压与干路电流；干路电流 与外电路电阻；路端电压与外电路电阻之间的函数关系，作出图象，找到 斜率的物理意义.(1) 路端电压U与干路电流T间的函数关系：U=E-Tr,图象如图10 所示，由函数图象可知，纵轴的截距就是E,斜率的相反数就是匕于是分 析出需要去测量U和I,学生由此会联想到图11的两个实验电路图，接着 再从误差分析的角度对11-1和11-2进行筛选.(2) 干路电流I与外电阻R间的函数关系：I二ElR+r,如果作出I-R 图象应该是一条曲线如图12-1所示，不易求出其中的参量E和r,经过数 学变形得到：111二llER+rlE,以111为纵轴，R为横轴,可得直线如图12-2 所示，通过求斜率可以得到E二Ilk.如何测量R?如何得到T呢？经过这样的反思很容易想到运用电流表 和电阻箱的安阻法了.(3) 路端电压U与外电阻R间的函数关系由串联分压得：U二RIR+rE, U-R图象为曲线，如图13-1所示•同样经过数学变形可以得到： 11U二rlE?llR+llE,作出11U-11R图象如图13-2所示,该直线的斜率k=rlE.学生在上述理性分析的基础上，实验的目的就分外明确，实验方案的 选择也更具条理性.当然，图象的斜率在中学物理中的运用还远远不止这些，如验证机械 能守恒定律实验中的v2-h图线的斜率为当地重力加速度的2倍；如电势 随距离x变化的图象的斜率表示电场强度E等等.此外，函数图象在中学物理教学中的应用“看点”很多，除了本文所 举的“斜率”夕卜，函数图象的截距、拐点、峰值、图形围成的面积、几个 图象的焦点等等也都富含物理意义，也都具有研究和总结的教学价值，望 能引起各位同行的重视，引导学生数形结合，提高解决物理问题的能力.。