高等代数课件ppt之第2章行列式.ppt

第2章 行列式,行列式是高等代数的一个重要组成部分它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式、二次型等问题的重要工具.本章介绍了n级行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克拉默法则.,第2章 行列式,n级行列式的定义 行列式的性质与计算 行列式按一行（列）展开 克拉默法则—行列式的一个简单应用,2.1∼2.3 n级行列式的定义,本节从二、三级行列式出发，给 出n级行列式的概念. 基本内容： 二级与三级行列式 排列及其逆序数 n级行列式定义,1.二级与三级行列式,(1)二级行列式,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：,上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得为便于记忆，引进如下记号：,,,称其为二级行列式 .,据此，解中的分子可分别记为：,例1 解二元线性方程组,解: 方程组未知量的系数所构成的二级行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,(2)三级行列式,称为三级行列式‘—’三元素乘积取“+”号； ‘…’三元素乘积取“-”号主对角线法,例2 计算三阶行列式,解:由主对角线法，有,,,,,,,,,,,,,,,,,例3 解线性方程组,解：系数行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,思考与练习（三级行列式）,方程化简为 (x-1)2 =4, 其解为x=3或x=-1；,答 案,2.排列及其逆序数,(1)排列,由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in 称为一个n级排列.,如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：,123 132 213 231 312 321,（总数为 n!个）,注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 它则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.,(2)排列的逆序数,定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反,即isit(ts),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为(i1i2…in).,奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.,=3 =2,例4 (2413) (312),例5 (n(n-1)…321) (135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42),=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2,=2+4…+(2n-2)=n(n-1),对换：,在一个排列i1…is…it …in中，若其中某两 数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列 i1…it…is …in,这种变换称为一个对换, 记为( isit).,例6,结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②全部n级排列中,奇偶排列各半(各有n!  2) . ③任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一 系列对换互变, 且所作对换的个数与该排列有相同 的奇偶性.,①的证明,对换在相邻两数间发生，即 设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其它数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1) 一般情形 设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. ||,思考练习（排列的逆序数）,1.(542163) (24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31） 2. 若排列的x1x2…xn逆序数为Ｉ，求排列xn xn-1…x1的逆序数.,答 案,详解,继续,思考练习（排列的逆序数详解）,方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和t(st), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列 x1x2…xn中取两数的方法共有,依题意，有,故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为,此即,方法2,n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列 x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构 成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为,li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n),此即,3. n级行列式定义,分析：,(i)每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为,(ii)符号为,“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）,(iii)项数为 3！=6,推广之，有如下n 级行列式定义,定义： n级行列式,是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积,并冠以符号 的项的和.,(i) 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 构成的n！个排列求和.,例4 计算,解,由行列式定义,,和式中仅当,例5 证明上三角行列式,证： 由定义,和式中,只有当,所以,结论:上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .,由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明,定理:n级行列式D=det (aij) 的项可以写为,其中i1i2…in和j1 j2 …jn都是n级排列 .,或,另一定义形式,另一定义形式,推论:n级行列式D=det (aij) 的值为,1.用定义计算,思考练习 （n级行列式定义）,答案,2.写出4级行列式中含有因子a23a41并带有负号的项.,内 容 回 顾,n阶行列式定义：,上三角行列式的值,§2.4 ∼2.5 n级行列式的性质与计算,考虑,称DT为D的转置行列式 .,将它的行依次变为相应的列，得,性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）,证：事实上,若记 DT=det(bij),则,解,例1 计算行列式,性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号 .,推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k， 等于数k乘以此行列式，即,推论 (1) D中一行(列)所有元素为零，则D=0； (2) D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.,性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数 的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即,证,性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即,例2 计算行列式,解,解,解,例4 计算n阶行列式,解(2),解(3),解(1),解(1),注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有,返 回,解(2),注意到行列式各行元素之和等于,有,返 回,解 (3),箭形行列式,列变换化箭形行列式为上三角行列式,例4 证明,证,证,2.证明,1.计算行列式,思考练习 （行列式的性质）,思考练习 （行列式的性质）,思考练习（行列式性质答案）,=右边,思考练习（行列式性质答案）,解,返 回,箭形行列式,§2.6 行列式按行（列）展开,1.行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,在n级行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1级行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,例1 求出行列式,解,考察三阶行列式,A11,A13,A12,三阶行列式可以表示为某一行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积和,行列式按一行（列）展开定理,n级行列式,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,证,(i)元素aij位于第1行、第1列,而该行其余元素均为 零,即 aij= a11， a1j=0 （j=2,3,…,n)；此时,而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ;,(ii),将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列,经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即,(iii) 一般地,由 (i),由(ii),推论 n级行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,证,考虑辅助行列式,0=,例2 计算行列式,解,法1,法2,选取“0”多 的行或列,例3 计算行列式,解,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,例4 计算n级行列式,解,例5 证明范得蒙行列式（Vandermonde),证,用数学归纳法,假设对n-1级范得蒙行列式结论成立，以下考虑 n 级情形.,例6 计算行列式,答案,例７ 已知4级行列式,解,法1,法2,利用行列式的按列展开定理，简化计算.,一般地（P81例３）,思考练习 （按行展开定理）,计算行列式,思考练习（按行展开定理详解1）,思考练习（按行展开定理详解2）,2.拉普拉斯（Laplace）定理,k级子式 在n级行列式中，任意选定k行、k列 （1≤k≤n）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k级行列式N，称为行列式D的一个k级子式. k级子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k级行列式M，称为k级子式N的余子式;而,为其代数余子式.这里i1,i2,…,ik, j1, j2,…, jk分别为 k级子 式N的行标和列标.,在n级行列式,定理 (Laplace),任意取定k行(1 kn),由这k行元素组成的k级子式M 1, M 2 ,…,M t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即,解,例7 计算行列式,一般地（P81例３）,例8 应用Mathematica4.0计算行列式,§2.7 克拉默法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个 方程的n元线性方程组的问题. 定理（克拉默法则） 如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式, 即,定理的结论有两层含义：①方程组（1）有解； ②解唯一且可由式(2)给出.,证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式(2)给出的是方程组(1)的解.,下面证明解唯一.设xj=cj(j=1,2,…,n)为方程组 (1) 的任意一个解，则,以D的第j列元素的代数余子式 A1j, A2j ,…, Anj依次乘 以上式各等式，相加得,从而 Dcj=Dj 由于D0,因此,即方程组的解是唯一的.,推论1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解，则D=0； 推论2 如果齐次线性方程组,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组有非零解，则D=0.,例1 解线性方程组,解 系数行列式,例2 若齐次线性方程组有非零解，求λ值.,解 系数行列式,方程组有非零解，则D=0.于是=3或 =0.,例3,解,。