超详细典型的抽象函数问题例题分析.pdf

高考中的抽象函数问题及其解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1. 换元法： 即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出( )f x，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力例 1：已知()211xfxx, 求( )f x. 解：设1xux, 则1uxu2( )2111uuf uuu2( )1xf xx2. 凑配法： 在已知( ( )( )f g xh x的条件下，把( )h x并凑成以( )g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x. 此解法简洁，还能进一步复习代换法例 2：已知3311()f xxxx，求( )f x解：22211111()()(1)()()3)f xxxxxxxxxx又11| |1|xxxx23( )(3)3f xx xxx，(|x| 1) 3. 待定系数法： 先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数例 3 已知( )f x二次实函数，且2(1)(1)f xf xx+2x+4, 求( )f x. 解: 设( )f x=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxf xa xb xca xb xc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb213( )22fxxx4. 利用函数性质法: 主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式. 例 4. 已知y=( )fx为奇函数 , 当x0 时,( )lg(1)fxx, 求( )f x精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -解: ( )f x为奇函数，( )f x的定义域关于原点对称，故先求x0, ()lg(1)lg(1)fxxx, ( )f x为奇函数，lg(1)()( )xfxfx当x0 时( )lg(1)f xxlg(1),0( )lg(1),0 x xf xx x例 5一已知( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，且有( )f x+1( )1g xx， 求( )f x,( )g x. 解：( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，()( )fxf x,()( )gxg x, 不妨用 -x代换( )f x+( )g x=11x中的x, 1()()1fxgxx即( )f x1( )1g xx显见 +即可消去( )g x, 求出函数21( )1f xx再代入求出2( )1xg xx5、方程组法： 通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。

例 6. 已知1( )+2()1f xfxx，求( )f x的表达式解：用1x代替x得到11( )+2( )1ffxxx（1）又1( )+2()1f xfxx（2） 2（1）- （2）得到23( )1f xxx，于是21( )333xf xx二、求值问题例 7. 已知定义域为R的函数( )f x，同时满足下列条件：1(2)1,(6)5ff；( . )( ).( )fx yf xf y，求(3),(9)ff的值解：取2,3xy，得(6)(2)(3)fff因为1(2)1,(6)5ff，所以4(3)5f又取3xy得8(9)(3)(3)5fff评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取2,3xy，这样便把已知条件1(2)1,(6)5ff与欲求的(3)f沟通了起来赋值法是解此类问题的常用技巧精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -三、定义域问题例 8. 已知函数2()fx的定义域是 1，2，求( )f x的定义域解：2()fx的定义域是 1，2，是指12x，所以2()fx中的2x满足214x从而函数 f(x) 的定义域是1，4评析：一般地，已知函数( ( )fx的定义域是A，求 f(x)的定义域问题，相当于已知( ( )fx中 x 的取值范围为A，据此求( )x的值域问题。

例 9. 已知函数( )f x的定义域是 1,2，求函数(3)12logxf的定义域解：( )f x的定义域是 1,2，意思是凡被f作用的对象都在 1,2中，由此可得所以函数(3)12logxf的定义域是111,4评析：这类问题的一般形式是：已知函数( )f x的定义域是A，求函数( )fx的定义域正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键这类问题实质上相当于已知( )x的值域A，据此求x的取值范围例2 和例 1 形式上正相反四、值域问题例 10. 设函数( )f x定义于实数集上，对于任意实数,x y，()( )( )f xyf x fy总成立，且存在12xx，使得12()()f xf x，求函数( )f x的值域解：令0 xy，得2(0)(0)ff，即有(0)0f或(0)1f若(0)0f，则( )(0)( )(0)0f xfxf x f，对任意xR均成立，这与存在实数12xx，使得12()()f xf x成立矛盾，故(0)0f，必有(0)1f由于()( )( )f xyfx f y对任意, x y均成立，因此，对任意xR，有下面来证明，对任意,( )0 xR f x设存在0 xR，使得0()0f x，则0000(0)()()()0ff xxf xfx这与上面已证的(0)0f矛盾，因此，对任意,( )0 xR f x所以( )0f x评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

五、判断函数的奇偶性：例 11 已知()()2( )( )f xyf xyf x f y, 对一切实数x、y都成立，且(0)0f, 求证( )f x为偶函数证明：令x=0, 则已知等式变为( )()2 (0)( )fyfyffy精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -在中令y=0 则 2(0)f=2(0)f(0)f0(0)f=1( )()2 ( )f yfyf y()( )fyf y( )f x为偶函数六、单调性问题例 12. 设( )f x定义于实数集上， 当0 x时，( )1f x， 且对于任意实数, x y有()( )( )f xyf x fy，求证：( )f x在 R上为增函数证明：在()( )( )f xyf x fy中取0 xy，得2(0)(0)ff若(0)0f，令0,0 xy，则( )0fx，与( )1f x矛盾所以( )0f x，即有(0)1f当0 x时，( )10f x；当0 x时，0,()10 xfx而( )()(0)1f x fxf所以1( )0()f xfx又当0 x时，(0)10f所以对任意xR，恒有( )0f x设12xx，则21210,()1xxfxx所以21211211()()()()()f xf xxxf xf xxf x所以( )yf x在R上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例 13：奇函数( )f x在定义域（ -1 ，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，( )f x为函数，2(1)(1)fmf m又( )f x在（ -1 ，1）内递减，221111110111mmmmm八、对称性问题（1）设,a b均为常数，函数( )yf x对一切实数x都满足()()2f axf axb函数( )yf x的图象关于点( , )a b成中心对称图形精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -（2） 设,a b均为常数， 函数( )yf x对一切实数x都满足()()0f axf bx函数( )yf x的图象关于点(,0)2ab成中心对称图形3）设,a b均为常数，函数( )yf x对一切实数x都满足()()f axf bx函数( )yf x的图象关于轴2abx对称。

例 14：如果( )f x=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft, 比较(1)(2)(4)fff、的大小解：对任意t有(2)2)ftftx=2 为抛物线y=2axbxc的对称轴又其开口向上f(2) 最小，f(1)=f(3) 在 2， ) 上，( )fx为增函数f(3)f(4), f(2)f(1)f(4) 九、周期问题命题 1：若 a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数 . 函数 y=f(x)满足 f(x+a)= f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=1( )f x，则 f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数 y=f(x)满足 f(x+a)+f(x)=1，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 命题 2： 若 a、 b(ab) 是非零常数， 对于函数y=f(x)定义域的一切x， 满足下列条件之一，则函数 y=f(x)是周期函数 . (1) 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+b)，则 f(x) 是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2) 函数图象关于两条直线x=a，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0) 和点 N(b,0) 对称， 则函数 y=f(x)是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个周期 . (4) 函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期 . 命题 3：若 a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数 . 若 f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期 . 若 f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期 . 我们也可以把命题3 看成命题 2 的特例 , 命题 3 中函数奇偶性、 对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件 A: 定义在 R上的函数f(x)是一个偶函数 . 条件 B: f(x)关于 x=a 对称精品 p d f 资料 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - 学习资料 精品 - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -条件 C: f(x)是周期函数 , 且 2a 是其一个周期 . 结论 : 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明 : 已知 A、B C （2001 年全国高考第22 题第二问）f(x)是 R上的偶函数f(-x)=f(x) 又 f(x)关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a) f(x) 是周期函数 , 且 2a 是它的一个周期已知 A、CB 定义在R上的函数 f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又 2a 是 f。