与二次函数与三角形面积或相似问题(含答案).doc

1、如图2，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；xyO3 －9－1－1AB图2（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得解得 ∴二次函数的表达式为． （2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）． （3）将（m，m）代入，得 ，解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t1=， t2=，t3= ． …………………11分3，已知二次函数解析式为y=-2x-3, 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。

问：是否存在直线y=kx+b交抛物线于P、Q两点，使y轴平分△CPQ的面积，若存在，求出k、b满足的条件若不存在，说明理由答：存在k=-2，b﹤-3使y轴平分△CPQ的面积解：过P作PM⊥y轴于M，QN⊥y轴于NXY∵y轴平分△CPQ的面积∴=∴PM=QN ∴-=联立{∴-（2+k）x-3-b=0∴+=2+k=0 ∴k=-2又∵=-3-b﹥0 ∴b﹤-3反思： 这类题其实根据所给出的几何特性：y轴平分△CPQ面积，将等分面积的问题转化为线段相等的问题，即P、Q到y轴的距离相等，再将线段相等转化为点的坐标关系，即：-=建立方程，得出本题的解，完成了从形到数的转化4、已知二次函数1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由解（1）因为△=所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点…………（2分）（2）设x1、x2是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以…………（4分）即：变形为：……………………………………（5分）所以：整理得：解方程得：又因为：a<0所以：a=－1所以：此二次函数的解析式为…………………………（6分）（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=……………………………………………………………………（8分）所以：S△PAB=所以：即：，则…………………………………（10分）当时，，即解此方程得：=－2或3当时，，即解此方程得：=0或1……………………………………（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。

…（12分）5，如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；图12-2xCOyABD11(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.,解：(1)设抛物线的解析式为： 1分 把A（3,0）代入解析式求得所以 3分 设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 4分把，代入中 解得：所以 6分(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2 8分(平方单位) 10分(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则 12分由S△PAB=S△CAB得：化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为 14分6，如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC∥轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (0＜＜4)，△PQA的面积记为S. ① 求S与的函数关系式； ② 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；③ 是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.PBACOQ⌒图3（1）∵ 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)，∴ .解得 . ∴ 所求抛物线的函数关系式为. (注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2）① 过点B作BE⊥轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. 由tan∠BAE=，得∠BAE =60°. EFPBACOQ⌒图13 （ⅰ）当点Q段AB上运动，即0＜≤2时，QA=t，PA=4-.过点Q作QF⊥轴于F，则QF=， ∴ S=PA·QF. ……（6分） （ⅱ）当点Q段BC上运动，即2≤＜4时，Q点的纵坐标为，PA=4-.这时，S=. ②（ⅰ）当0＜≤2时，. ∵ ，∴ 当=2时，S有最大值，最大值S=.（ⅱ）当2≤＜4时， ∵ ， ∴ S随着的增大而减小. ∴ 当=2时，S有最大值，最大值. 综合（ⅰ）（ⅱ），当=2时，S有最大值，最大值为. △PQA是等边三角形. ③ 存在. 当点Q段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-=2，∴ . ∴ P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). 当点Q段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-=，∴ ∴ P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,). 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【关键词】二次函数解析式 对称点 相似三角形 三角形面积ACxyBO【答案】（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.OACxyBEPD设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为（3）存在最大值理由：∵即∴∴即∴连结 ==∵∴当时，图87、如图8，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.一、 解（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1,0）B(3,0)两点,将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到： 解得：b=-2,c=-3所以，该抛物线的解析式为：y=x2-2x-3（2）要满足S△PAB=8，已知AB=4，而S△PAB=AB*Py/2所以：AB*Py/2=8=> Py=4，即P点纵坐标为4=> x2-2x-3=4,或者x2-2x-3=-4当x2-2x-3=4时，x=1+2√2或者x=1-2√2当x2-2x-3=-4时，x=1∴ P点坐标为(1+2√2，4)或(1-2√2，4)或(1，-4)（3）①由前面的计算可以得到，C(0,-3),且抛物线的对称轴为x=1∴ 令Q点坐标为Q(1，y)那么，△QAC的周长=QA+QC+AC=(√y^+4)+[√1+(y+3)^]+√10可以看出，要使得△QAC的周长最小，即只要保证(√y^+4)+[√1+(y+3)^]最小即可令f(y)=(√y^+4)+[√1+(y+3)^],在f'(y)=0得到y=-2,此时f(y)有最小值，也即是△QAC的周长有最小值。

此时，Q点坐标为Q(1,-2)5、如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，过B作BC⊥轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S.① 求S与之间的函数关系式.② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线B。