映射与函数(二).pdf

1/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束第一节映射与函数（二）一、复合函数函数的运算一、复合函数函数的运算三初等函数三初等函数 四、双曲函数与反双曲函数四、双曲函数与反双曲函数五、小结思考题五、小结思考题二、基本初等函数二、基本初等函数2/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束一、复合函数函数的运算一、复合函数函数的运算1.【复合函数】.【复合函数】,uy =设=设,12xu− −= =21xy−=−=(1)【定义】【定义】——复合映射的特例.复合映射的特例.【说明】通常【说明】通常 f 称为外层函数，称为外层函数，g 称为内层函数称为内层函数.1),(Duufy∈ ∈= =,),(Dxxgu∈ ∈= =1)(DDg⊂ ⊂且且则则Dxxgfy∈ ∈= =, ] )([设有设有函数链函数链称为由称为由①①, , ②②确定的确定的复合函数复合函数, ,①①②②u 称为称为中间变量中间变量. . 3/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束(2)【注意】【注意】,arcsinuy = =例如例如;22xu+ += =)2arcsin(2xy+ +≠ ≠2））复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy =例如=例如,uy = =,cotvu = =.2xv = =2.【函数的运算】.【函数的运算】三重复合函数三重复合函数1））构成复合函数的条件构成复合函数的条件1)(DDg⊂ ⊂不可少. 不可少. （即：内层函数在（即：内层函数在复合函数定义域复合函数定义域D内的值域内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域一定包含在外层函数的定义域D1内）内）4/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束Φ Φ≠ ≠= =21DDD∩则则【定义】【定义】Dxxgxfxgf∈ ∈± ±= =± ± )()())((，，和(差)和(差)积积Dxxgxfxgf∈ ∈⋅ ⋅= =⋅ ⋅ )()())((，，商商{}{}0)(\ )()()(=∈=⎟=∈=⎟ ⎠ ⎠⎞ ⎞⎜⎝⎛⎜⎝⎛xgxDxxgxfxgf，，【例【例1】】),( ),( )(llllxf− −− −证明必存在，的定义域为设证明必存在，的定义域为设使得，及奇函数上的偶函数使得，及奇函数上的偶函数 )( )( xhxg)()()(xhxgxf+ += =21)()( DDxgxf、的定义域分别为、设、的定义域分别为、设5/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束【分析】【分析】使得，、假设存在这样的使得，、假设存在这样的 )( )( xhxg)()()(xhxgxf+ += =)()( )()( xhxhxgx g− −= =− −= =− −，，且且)()()()()( xhxgxhxgxf− −= =− −+ +− −= =− −则则①①②②由由①①、、②②两式相加减，可作出两式相加减，可作出)()(xhxg、、【证明】【证明】作作[][])()(21)(xfxfxg−+=−+=[][])()(21)(xfxfxh−−=−−=则则)()()(xfxhxg= =+ +偶函数偶函数奇函数奇函数【证完】【证完】6/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束二、基本初等函数二、基本初等函数1.【.【幂函数】幂函数】)( 是常数是常数μ μμ μxy = =oxy)1 , 1(112xy = =xy = =xy1= =xy = =幂函数、 指数函数、幂函数、 指数函数、 对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数7/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束2.【指数函数】.【指数函数】)1, 0(≠ ≠> >= =aaayxxay = =x ay)1(= =)1( > >a)1 , 0(• •xey = =8/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束3.【对数函数】.【对数函数】)1, 0(log≠ ≠> >= =aaxyaxyln= =xyalog= =xya1log= =)1( > >a)0 , 1( • •9/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束4.【三角函数】.【三角函数】正弦函数正弦函数xysin= =xysin= =10/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束xycos= =xycos= =余弦函数余弦函数11/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束正切函数正切函数xytan= =xytan= =12/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束xycot= =余切函数余切函数xycot= =13/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束正割函数正割函数xysec= =xysec= =14/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束xycsc= =余割函数余割函数xycsc= =15/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束5.【反三角函数】.【反三角函数】xyarcsin= =xyarcsin= =反正弦函数反正弦函数16/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束xyarccos= =xyarccos= =反余弦函数反余弦函数17/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束xyarctan= =xyarctan= =反正切函数反正切函数2π π2π π − −18/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束【定义【定义1】】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. .xycot= =反余切函数反余切函数arcxycot= =arcπ πo19/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束三初等函数三初等函数1.【初等函数】.【初等函数】【定义【定义2】】由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次有限次四 则运算和四 则运算和有限次有限次的函数复合步骤所构成并可用的函数复合步骤所构成并可用一一 个式子个式子表示的函数,称为表示的函数,称为初等函数初等函数. .否则称为否则称为非初等函数非初等函数.20/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束【例【例2】】)].([,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfxϕϕϕϕ求设 ⎩⎨⎧ ≥−求设 ⎩⎨⎧ ≥−== ⎪⎩⎪⎨⎧== 010001 sgn xxx xy 当当当当当当⎩⎨⎧ ∈⎩⎨⎧ ∈∈ ∈====CQxQxxDy, 0 , 1)( 有理数点无理数点有理数点无理数点•1 xyxyo o③③［狄里克雷函数］［狄里克雷函数］1-1xyo④④［分段函数］（略）：［分段函数］（略）：一般一般是非初等函数.是非初等函数.23/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束四、双曲函数与反双曲函数四、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex− −−=双曲正弦−=双曲正弦xycosh= =xysinh= =),,(:+ +∞−∞∞−∞D奇函数.奇函数.2coshxxeex− −+=双曲余弦+=双曲余弦),,(:+ +∞−∞∞−∞D偶函数.偶函数.1.【双曲函数】.【双曲函数】xey21= =xey− −= =21( 可自学本部分内容, 见同济五版《高数》上册( 可自学本部分内容, 见同济五版《高数》上册P17– P20) )①①②②24/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束xxxxeeee xxx− −− −+ +−==−==coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数,奇函数,),(:+ +∞−∞∞−∞D有界函数,有界函数,③③25/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束【双曲函数常用公式】【双曲函数常用公式】;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx± ±= =± ±;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx± ±= =± ±;1sinhcosh22= =− −xx;coshsinh22sinhxxx = =.sinhcosh2cosh22xxx+ += =26/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束2.【反双曲函数】.【反双曲函数】奇函数,奇函数,),(:+∞−∞ +∞−∞D. ),(内单调增加在+∞−∞内单调增加在+∞−∞;sinharxy = =反双曲正弦反双曲正弦).1ln(sinh2++=++== =xxxyarsinhar= =xy①①27/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束. ), 1 [内单调增加在+∞ 内单调增加在+∞), 1 [ :+∞+∞D反双曲余弦反双曲余弦xycoshar= =).1ln(cosh2−+=−+== =xxxyarcosharx= =y②②28/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束.11ln21 xx − −+ += =)1 , 1(: − −D奇函数,奇函数,. )1 , 1(内单调增加在 −内单调增加在 −反双曲正切反双曲正切xytanhar= =xytanh= =artanharx= =y③③29/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束五、小结五、小结【函数的分类】【函数的分类】函数函数初等函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数代数函数超越函数有理函数无理函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)30/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束1. 集合及映射的. 集合及映射的概念概念 定义域定义域对应规律对应规律 3. 函数的特性. 函数的特性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的. 初等函数的结构结构2. 函数的定义及函数的二要素. 函数的定义及函数的二要素31/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束【思考题】【思考题】下列函数能否复合为函数下列函数能否复合为函数)]([xgfy = =，若 能，写出其解析式、定义域、值域．，若 能，写出其解析式、定义域、值域． ,)()1(uufy= == =2)(xxxgu− −= == =,ln)()2(uufy= == =1sin)(− −= == =xxgu32/32机动目录上页 下页返回结束机动目录上页 下页返回结束【思考题解答】【思考题解答】)1(},10|{≤ ≤≤ ≤= =∈ ∈xxDx]21, 0[)(= =Df)2(不能．不能．01sin)(≤ ≤− −= =xxg∵)(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集.的定义域之交集是空集. g(x)= x-x2o 10.5xy0.252)]([xxxgfy−==内层函数−==内层函数g(x)的图形如图示的图形如图示。