第六章椭球面上的测量计算.ppt

1 11．地球椭球的定义及其几何意义； 2．常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3．各种测量坐标系统之间的相互转换； 4．椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5．地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法[知识点及学习要求知识点及学习要求][难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算 2 2n n1.地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数7-17-1地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球：地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型地球的数学模型 参考椭球：参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代具有一定几何参数、定位及定向的用以代表表某一地区大地水准面某一地区大地水准面的地球椭球。

地面上一切观测元的地球椭球地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面球形状和地图投影的参考面3 3椭圆的长半轴：椭圆的长半轴： a a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴： b b椭圆的扁率：椭圆的扁率： 五个基本几何参数五个基本几何参数 椭圆的第一偏心率：椭圆的第一偏心率： 椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率：： a、、b称为长度元素称为长度元素扁率反映了椭球体的扁扁率反映了椭球体的扁平程度平程度 e′和和e反映椭球体的扁平程反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈度，偏心率越大，椭球愈扁扁 4 4n n决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a a或或或或b b）。

n n为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：注注 意意式中，式中，W W 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V V 第二基本纬度函数第二基本纬度函数5 50.00673949674220.00673949674227 70.0067395018190.0067395018194734730.0067385254140.006738525414683683e’2e’20.00669437990130.00669437990130.0066943849990.0066943849995885880.0066934216220.006693421622966966e2e21/298.2572235631/298.2572235631/298.2571/298.2571/298.31/298.36399593.62586399593.62586399596.6519886399596.651988010501056399698.9017826399698.90178271107110c c6356752.31426356752.31426356755.2881576356755.288157528752876356863.0187736356863.01877304730473b b637813763781376378140637814063782456378245a aWGS-84WGS-84系椭球系椭球系椭球系椭球19751975国际椭球国际椭球国际椭球国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球 我国所采用的的我国所采用的的19541954年北京坐标系应用的是克年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的拉索夫斯基椭球参数；以后采用的19801980国家大地坐国家大地坐标系应用的是标系应用的是19751975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPSGPS应用的是应用的是WGS-84WGS-84系椭球参数。

系椭球参数 6 62.地球椭球参数间的相互关系地球椭球参数间的相互关系 7 78 87-27-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系（重点）（重点）n n1.常用的四种坐标系常用的四种坐标系Ø大地坐标系、大地坐标系、Ø空间直角坐标系空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）（大地测量中两种基本坐标系）Ø子午平面直角坐标系子午平面直角坐标系Ø大地极坐标系大地极坐标系 9 91）大地坐标系）大地坐标系 P点的子午面点的子午面NPS与起始子与起始子午面午面NGS所构成的二面角所构成的二面角叫做叫做P点点大地经度大地经度，，P点的点的法线法线Pn与赤道面的夹角与赤道面的夹角B叫叫P点的点的大地纬度大地纬度，，P点的位点的位置用置用L、、B表示表示 P若若P点不在椭球面上，还要点不在椭球面上，还要一个参数：一个参数：大地高大地高H来表示来表示点位它与正常高及正高的点位它与正常高及正高的关系为：关系为：N过中心1010n n大地坐标系是基本的坐标系大地坐标系是基本的坐标系n n是全世界公用的最方便的坐标系是全世界公用的最方便的坐标系n n与同一点的天文坐标比较可确定垂线偏差与同一点的天文坐标比较可确定垂线偏差n n对于大地测量计算、地球形状研究和地图对于大地测量计算、地球形状研究和地图制图都很有用。

制图都很有用11112）空间直角坐标系）空间直角坐标系 以椭球中心以椭球中心O为原点，起为原点，起始子午面与赤道面交线为始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与轴，在赤道面上与X轴轴正交的方向为正交的方向为Y轴，椭球轴，椭球体的旋转轴为体的旋转轴为Z轴，构成轴，构成右手坐标系右手坐标系O-XYZ，在，在该坐标系中，该坐标系中，P点的位置点的位置用用X、、Y、、Z表示表示 12123）子午面直角坐标系）子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L，在过，在过P点的子午面上点的子午面上，以子午圈椭圆中心，以子午圈椭圆中心为原点，建立为原点，建立x，，y平平面直角坐标系在该面直角坐标系在该坐标系中，坐标系中，P点的位置点的位置用用L，，x，，y表示表示 13134）大地极坐标系）大地极坐标系 M为椭圆体面上任意为椭圆体面上任意一点，一点，MN为过为过M点的子点的子午线，午线，S为连结为连结MP的大的大地线长，地线长，A为大地线在为大地线在M点的大地方位角以点的大地方位角以M为极点、为极点、MN为极轴、为极轴、S为极径、为极径、A为极角，就构为极角，就构成了大地极坐标系。

成了大地极坐标系P点点位置用位置用S、、A表示 椭球面上的极坐标（椭球面上的极坐标（S、、A）与大地坐标（）与大地坐标（L、、B））可以互相换算，这种换算叫大地主题解算可以互相换算，这种换算叫大地主题解算14142、各种坐标系间的关系、各种坐标系间的关系 n n1 1）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系 过过p p 点作法线点作法线PnPn，它与，它与x 轴之夹角为轴之夹角为B，过点作子，过点作子午圈的切线午圈的切线TP，它与，它与x 轴轴的夹角为（的夹角为（9090°+ +B））------该该角的正切值为曲线在角的正切值为曲线在P P点处点处切线的斜率切线的斜率. .1515n n1 1）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系1616设设Pn=N，则有：，则有：一个有用的结论推导：一个有用的结论推导：17172）空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系）空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系181819193）空间直角坐标系与大地坐标系的关系）空间直角坐标系与大地坐标系的关系 X XY Y当当P P点位于椭球面上时：点位于椭球面上时：2020当当P P点不在椭球面上时：点不在椭球面上时：2121已知空间直角坐标计算大地坐标已知空间直角坐标计算大地坐标2222大地站心地平坐标系大地站心地平坐标系大地站心地平坐标系大地站心地平坐标系：：：：站心点的法线为站心点的法线为z z轴，向上轴，向上为正在地平面上以子午线方向为为正在地平面上以子午线方向为x x轴，轴，y y与与x x、、z z轴正交，指向以东为正。

轴正交，指向以东为正xzy3 3 站心地平坐标系及其应用（了解）站心地平坐标系及其应用（了解）站心地平坐标系及其应用（了解）站心地平坐标系及其应用（了解）2323大地站心极坐标系大地站心极坐标系大地站心极坐标系大地站心极坐标系：：：：以站心系原点到点的空间距以站心系原点到点的空间距离、方位角和天顶距为坐标参数来确定三维点离、方位角和天顶距为坐标参数来确定三维点位，称为站心极坐标系位，称为站心极坐标系2424 几个基本概念：几个基本概念：几个基本概念：几个基本概念：n n法截面：法截面：法截面：法截面：过椭球面上任意一点过椭球面上任意一点过椭球面上任意一点过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包可作垂直于椭球面的法线，包可作垂直于椭球面的法线，包可作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面含这条法线的平面就叫法截面含这条法线的平面就叫法截面含这条法线的平面就叫法截面n n法截线（法截弧）法截线（法截弧）法截线（法截弧）法截线（法截弧）：法截面与：法截面与：法截面与：法截面与椭球面的交线椭球面的交线椭球面的交线椭球面的交线n n卯酉圈：卯酉圈：卯酉圈：卯酉圈：过某点法线的无数个过某点法线的无数个过某点法线的无数个过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面中，与子午面相垂直的法截面中，与子午面相垂直的法截面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭法截面同椭球面相截形成的闭法截面同椭球面相截形成的闭法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈。

合圈就称为卯酉圈合圈就称为卯酉圈合圈就称为卯酉圈n n子午圈子午圈子午圈子午圈：与卯酉圈垂直：与卯酉圈垂直：与卯酉圈垂直：与卯酉圈垂直7.3椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径（重点）（重点）无穷多个无穷多个2525n n1 1、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径2626M M M M小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径a a a aM M M M随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大M M M M等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径B=0B=0B=0B=0（在赤道处）（在赤道处）（在赤道处）（在赤道处）0 0 0 0＜＜＜＜B B B B＜＜＜＜90909090B=90B=90B=90B=90（在极点处）（在极点处）（在极点处）（在极点处）说说说说 明明明明M M M MB B B B2727n n过过过过P P P P点点点点作作作作以以以以O′O′O′O′为为为为中中中中心心心心的的的的平平平平行行行行圈圈圈圈PHKPHKPHKPHK的的的的切切切切线线线线PTPTPTPT，，，，该该该该切切切切线线线线位位位位于于于于垂垂垂垂直直直直于于于于子子子子午午午午面面面面的的的的平平平平行行行行圈圈圈圈平平平平面面面面内内内内。

因因因因卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈也也也也垂垂垂垂直直直直于于于于子子子子午午午午面面面面，，，，故故故故PTPTPTPT也也也也是是是是卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈在在在在P P P P点点点点处处处处的的的的切切切切线线线线，，，，即即即即PTPTPTPT垂垂垂垂直直直直于于于于PnPnPnPn所所所所以以以以PTPTPTPT是是是是平平平平行行行行圈圈圈圈PHKPHKPHKPHK及及及及卯卯卯卯酉酉酉酉圈圈圈圈在在在在P P P P点处的公切线点处的公切线点处的公切线点处的公切线n n麦麦麦麦尼尼尼尼尔尔尔尔定定定定理理理理：：：：假假假假设设设设通通通通过过过过曲曲曲曲面面面面上上上上一一一一点点点点引引引引两两两两条条条条截截截截弧弧弧弧，，，，一一一一条条条条为为为为法法法法截截截截弧弧弧弧、、、、一一一一条条条条为为为为斜斜斜斜截截截截弧弧弧弧，，，，且且且且在在在在该该该该点点点点上上上上这这这这两两两两条条条条截截截截弧弧弧弧具具具具有有有有公公公公共共共共切切切切线线线线，，，，这这这这时时时时斜斜斜斜截截截截弧弧弧弧在在在在该该该该点点点点的的的的曲曲曲曲率率率率半半半半径径径径等等等等于于于于法法法法截截截截弧弧弧弧的的的的曲曲曲曲率率率率半半半半径径径径乘乘乘乘以以以以两两两两截截截截弧弧弧弧平平平平面面面面夹夹夹夹角角角角的的的的余余余余弦弦弦弦。

又又又又因因因因为为为为平平行行圈圈平平面面与与卯卯酉酉圈圈平平面面之之间间的的夹夹角角即即为为大大地地纬纬度度B B，所以有：，所以有：平行圈半径平行圈半径r就等于就等于P点的横坐标点的横坐标x（子午面（子午面直角坐标系），即：直角坐标系），即：2、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径 子午平面直角坐标系与大地坐标系的关系2828卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N=cN=cN=cN=cN N N N90909090=c=c=c=cB=90B=90B=90B=900 0 0 0N N N N随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大a a a a＜＜＜＜N N N N＜＜＜＜c c c c0 0 0 00 0 0 0

RA值的变化是以值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的为周期且与子午圈和卯酉圈对称的平均曲率平均曲率半径半径30304 4、平均曲率半径、平均曲率半径M、、N、、R的关系：的关系：N>R >M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径径c，即：，即： 由于由于R RA A的数值随方位的数值随方位A A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径就要推求该球面的曲率半径----平均曲率半径平均曲率半径[ [就是过椭球面上一点的一切法截就是过椭球面上一点的一切法截弧弧(0—2π(0—2π），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平均曲率半径，用就称为平均曲率半径，用R R表示表示] ]31311.子午线弧长计算公式　　子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。

　　如下图所示，取子午线上某微分弧　　　　，令Ｐ点纬度为Ｂ，　点纬度为　　　，Ｐ点的子午圈曲率半径为Ｍ，于是有： 从赤道开始到任意纬度Ｂ的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：式中M可用下式表达：7.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算3232其中：经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：为求子午线上两个纬度　及　间的弧长，只需按上式分别算出相应的　及　，而后取差：　　　　，该　　即为所求的弧长3333克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式： 1975年国际椭球子午线弧长计算公式：34342. 由子午线弧长可计算大地纬度　　在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其大地坐标（L，B）首先X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法 迭代法迭代法在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设以后每次迭代按下式计算：以后每次迭代按下式计算：重复迭代直至重复迭代直至 　　　　　为止　　　　　为止在在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式年国际椭球上计算时，也有类似公式。

35352.平行圈弧长公式平行圈弧长公式 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标子午面直角坐标x：：如果平行圈上有两点，其如果平行圈上有两点，其经差差 ，可写出平行圈弧长公式：可写出平行圈弧长公式： 36363.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较1.1.30.30.923923 29.876 29.87626.80226.80221.90221.90215.50015.5008.0288.0280.0000.0001.1.181895.3695.361792.541792.541608.131608.131314.141314.14930.02930.02481.71481.710.000.00111321m111321m10755210755296488964887884878848558015580128902289020 030.71630.71630.73830.73830.79530.79530.87330.87330.95130.95131.00731.00731.02731.0271842.941842.941844.261844.261847.711847.711852.391852.391857.041857.041860.421860.421861.601861.60110576m110576m1106561106561108631108631111431111431114231114231116251116251116961116960 01515303045456060757590901 1″″″″1 1′′′′ΔL=1ΔL=1°°°°1″1″1′1′平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长BB 单位纬差的子午线弧长随单位纬差的子午线弧长随B B的增大而缓慢地增大；而单位的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随经差的平行圈弧长则随B B的增大而急剧缩短。

同时还知，子午的增大而急剧缩短同时还知，子午弧长弧长1°1°约为约为110KM110KM，，1′1′约为约为1.8KM1.8KM，，1″1″约为约为30M30M；而平行圈；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B B的增大它的增大它们的差值愈来愈大们的差值愈来愈大37373.椭球面梯形面积的计算椭球面梯形面积的计算微分面积由于故积分后3838地球椭球的面积：地球圆球的半径：由于：则：39397.5 大地线大地线 1.相对法截线的概念相对法截线的概念 （（1）纬度不同的两点，法线必）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；交于旋转轴的不同点；（（2）椭球面上一点的纬度愈高，）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；法线与旋转轴的交点愈低；（（3）当两点的纬度不同，又不）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交因此线将在空间交错而不相交因此当两点不在同一子午圈上，也不当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。

二条法截线存在首先明确以下三点：首先明确以下三点：4040假定经纬仪的纵轴同假定经纬仪的纵轴同A，，B两点的两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面以两点为测站，则经纬仪的照准面就是就是法截面法截面用用A点照准点照准B点，则点，则照准面照准面 同椭球面的截线为同椭球面的截线为 ，叫做，叫做A点的点的正法截线正法截线，，或或B点的点的反法截线反法截线；同理，由；同理，由B照照A点，则点，则照准面照准面 同椭球面的截线为同椭球面的截线为BbA ，叫做，叫做B点的点的正法截线正法截线，，或或A点的点的反法截线反法截线因A，，B的法线互的法线互不相交，故这两条法截线不重合不相交，故这两条法截线不重合我们把我们把 和和BbA叫做叫做A、、B两点两点的的相对法截线相对法截线 4141n nABAB方向在不同象限时，正反法截线的关系图方向在不同象限时，正反法截线的关系图方向在不同象限时，正反法截线的关系图方向在不同象限时，正反法截线的关系图 当当A A、、B B两点位于同一子午圈或同两点位于同一子午圈或同一平行圈上一平行圈上时，正反法截，正反法截线则合合二二为一，一，这是一种特殊情况。

而是一种特殊情况而通常情况下，正反法截通常情况下，正反法截线是不重是不重合的因此在合的因此在椭球面上球面上A A、、B B、、C C三三点点处所所测得的角度得的角度（各点上正法（各点上正法截截线之之夹角）角）将不能构成将不能构成闭合三合三角形为克服克服这个矛盾，在两点个矛盾，在两点间另另选一条一条单一的一的大地线大地线代替相代替相对法截法截线，从而得到由大地，从而得到由大地线构构成的成的单一的三角形一的三角形42422、大地线的定义和性质、大地线的定义和性质 椭球面上两点间的最短曲线椭球面上两点间的最短曲线叫做叫做大地线大地线大大地地线线是是椭椭球球面面上上两两点点间间唯唯一一最最短短线线，，而而且且位位于于相相对对法法截截线线之之间间，，并并靠靠近近正正法截线，它与法截线，它与正正法截线间的夹角为：法截线间的夹角为： 在一等三角测量中，在一等三角测量中，Δ可达千分之四秒，可达千分之四秒，δ可达千分之一二秒可达千分之一二秒 n n大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。

但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量长度差异可以忽略不计但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归计算时，应以两点间的大地线为依据在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离算到相应大地线的方向、距离算到相应大地线的方向、距离算到相应大地线的方向、距离43433、大地线的微分方程和克莱洛、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳克莱劳)方程方程 1）大地线微分方程）大地线微分方程: 表达表达dL，，dB，，dA与与dS的关系式的关系式44442）克莱洛方程）克莱洛方程：代入代入两边积分得：两边积分得：麦尼儿定理：麦尼儿定理：4545上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。

于常数 利用这个关系式可以检查利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确纬度与方位角计算的正确性性46467.6 7.6 将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面 7.6.1 7.6.1 将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面--------三差改正三差改正 归算中两个基本要求：归算中两个基本要求：（（1）以椭球面的法线为基准；）以椭球面的法线为基准；（（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素 将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正三差改正4747垂线偏差改正的计算公式垂线偏差改正的计算公式 1）垂）垂线偏差改正偏差改正 把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正垂线偏差改正。

什么是什么是垂线偏垂线偏差？差？48482）标高差改正）标高差改正标高差改正：由照准点高度引起的改正标高差改正：由照准点高度引起的改正前面已得出结论：不在同前面已得出结论：不在同一子午面或不在一子午面或不在同一平行圈上同一平行圈上的两点的法线是不共面的的两点的法线是不共面的因此，当进行水平方向观测时，如果照准因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正称标高差改正，以引起的方向偏差的改正称标高差改正，以 表示 照准点大地纬度照准点大地纬度 测站点至照准点的大地方位角测站点至照准点的大地方位角 与照准点的纬度与照准点的纬度B B2 2对对应的子午圈曲率半径应的子午圈曲率半径 照准点的觇标高照准点的觇标高 标高差改正主要与照准点的标高差改正主要与照准点的高程有关高程有关 49493 3）截面差改正）截面差改正将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正截面差改正 测站点大地纬度测站点大地纬度 与测站点的纬度与测站点的纬度B B1 1对应的对应的 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 截面差改正主要与测站点至照准点截面差改正主要与测站点至照准点间的距离间的距离S S有关。

有关50504 4）三差改正的计算）三差改正的计算51514 4）三差改正的计算）三差改正的计算各等三角测量在归算时对取位的要求：各等三角测量在归算时对取位的要求： 一等需算至一等需算至0.001″0.001″；； 二等为二等为0.01″0.01″；； 三等和四等为三等和四等为0.1″0.1″ 在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在等和四等三角测量只有在 或或H>2000mH>2000m时，才分时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正别考虑加垂线偏差改正和标高差改正 5252电磁波测距的归算电磁波测距的归算 前提：前提：1) 将两点间的法截线长度认为是该两将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度；点间的大地线长度；2) 两点间的法截线长度与两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小小(如当如当S=640KM时，之差等于时，之差等于0.3米；米；S=200KM时，之差等于时，之差等于0.005m)。

由于工程由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计因此所求的大地因而，这种差异又可忽略不计因此所求的大地线长度可以认为是半径线长度可以认为是半径RA相应的圆弧长相应的圆弧长 倾斜改正倾斜改正由于平均测线由于平均测线高出参考椭球高出参考椭球面而引起的投面而引起的投影改正，变为影改正，变为弦线是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的改正项7.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面5353由于控制点由于控制点之高差引起之高差引起的倾斜改正的倾斜改正的主项，经的主项，经过此项改正，过此项改正，测线已变成测线已变成平距由于平均测由于平均测线高出参考线高出参考椭球面而引椭球面而引起的投影改起的投影改正，经过此正，经过此项改正后，项改正后，测线已变为测线已变为弦线是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的改正项简化后：简化后：5454高程对长度归算的影响：高程对长度归算的影响：基线两端点平基线两端点平均大地高程均大地高程 基线方向法截基线方向法截线曲率半径线曲率半径 将上式展开级数，取至二次项将上式展开级数，取至二次项 二等以上二等以上55557.7 大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）（了解）如图所示，已知如图所示，已知P1点的大地坐标（点的大地坐标（ ），），P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其大及其大地方位角地方位角A12，计算，计算P2点的大地坐标点的大地坐标（（ ）和大地线）和大地线S在在P2点的反方点的反方位角位角A21，这类问题叫做，这类问题叫做大地主题正大地主题正解解。

如果已知如果已知P1和和P2点的大地坐标点的大地坐标 （（ ）和（）和（ ），计算），计算P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其正、反大地方及其正、反大地方位角，这类问题叫做位角，这类问题叫做大地主题反解大地主题反解 5656ØØ地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系ØØ椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系ØØ椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径ØØ椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算ØØ大地线大地线大地线大地线ØØ将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球面面面面ØØ将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面））））ØØ大地主题解算的概大地主题解算的概大地主题解算的概大地主题解算的概念念念念（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握四种常用坐标系的建立）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）（掌握三差改正产生的原因）（掌握三差改正产生的原因）（掌握三差改正产生的原因）（掌握三差改正产生的原因）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）（了解概念）（了解概念）（了解概念）（了解概念）本章小结：本章小结：。