2021年沪教版初三中考数学压轴题突破---一线三角.docx

C 压轴题突破 ---一线三角 （★★★★★） |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 1. 把握一线三角基本图形 ------- 一线三直角型；2. 敏捷运用一线三角基本图形解综合题；学问结构三直角相像可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相像通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时 ，就要考虑通过添加帮助线构造完整的三直角型相像，这往往是许多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化；第 1 页，共 13 页例题1 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.A DA D * 【例 1】 已知：如图， AB⊥ BC， AD // BC， AB = 3 ， AD = 2 ．点 P 段 AB 上，联结 PD，过点 D 作PD 的垂线，与 BC 相交于点 C．设线段 AP 的长为 x．（1）当 AP = AD 时，求线段 PC 的长；（2）设△ PDC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当 △ APD∽△ DPC 时，求线段 BC 的长． | * | * | * | |欢.|迎.P|下.|载. B C B C（备用图）答案：（ 1） 过点 C 作 CE ⊥AD，交 AD 的延长线于点 E．∵ AB⊥ BC， CE⊥ AD ， PD ⊥CD ， AD // BC，∴ ∠ ABC =∠AEC =∠ PDC = 90 ， CE = AB = 3．∵ AD // BC，∴ ∠ A +∠ ABC = 180 ．即得 ∠A = 90 ．又∵ ∠ ADC =∠ DCE +∠ DEC ，∠ ADC =∠ ADP +∠ PDC ，∴ ∠ ADP =∠ DCE ．又由 ∠ A =∠ DEC = 90 ，得 △ APD ∽△ DCE ．∴ AD AP ．CE DE于是，由 AP = AD = 2，得 DE = CE = 3． （ 2 分）在 Rt△ APD 和 Rt△ DCE 中，得 PD2 2 ， CD3 2 ． （ 1 分）于是，在 Rt△ PDC 中，得PC PD 2CD 2 8 18 26． （ 1 分）（ 2）在 Rt△ APD 中，由 AD = 2， AP = x，2得 PD x 4 ． （ 1 分）∵ △ APD∽△ DCE ，∴ AD PD ．CE CD第 2 页，共 13 页∴ CD3 PD 3 2 4 ． （ 1 分）x2 2在 Rt△ PCD 中，S PCD1 PD CD 1 3 〔 x 4 〕 3 x2 3 ．222 2 2 4∴ 所求函数解析式为 y3 x243 ． （ 2 分）函数的定义域为 0 < x ≤ 3． （ 1 分）（ 3）当 △ APD ∽△ DPC 时，即得 △ APD ∽△ DPC ∽ △DCE ． （ 1 分）依据题意，当 △ APD ∽△ DPC 时，有以下两种情形：（ⅰ）当点 P 与点 B 不重合时，可知 ∠APD =∠ DPC ． |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | 由 △ APD∽ △ DCE ，得由 △ APD∽△ DPC ，得∴ AD DEAP PDDE DCAP ADPD DC．即得．AP DE ．PD CD * | * | * | CD CD∴ AE = 4 ．．即得 DE = AD = 2．|欢.|迎.|下.|载. 易证得四边形 ABCE 是矩形，∴ BC = AE = 4 ． （ 2 分）（ⅱ）当点 P 与点 B 重合时，可知 ∠ABD =∠ DBC ．在 Rt△ ABD 中，由 AD = 2， AB = 3 ，得 BDAD BD13 ．由 △ ABD∽△ DBC ，得即得 2 13 ．13 BC．BD BC解得 BC13． （ 2 分）2∴ △ APD∽△ DPC 时，线段 BC 的长分别为 4 或 13 ．2此题重点在于：过点 C 作 CE⊥ AD ，交 AD 的延长线于点 E． 〔构造一线三角，显现相像三角形，进行求解 〕第 3 页，共 13 页我来试一试 ！如图 1，已知AM //BN ，A B 90， AB4 ，点 D 是射线 AM 上的一个动点（点 D 与点 A 不重合），点 E 是线段 AB 上的一个动点（点 E 与点 A 、 B 不重合），联结 DE ，过点 E 作 DE 的垂线，交射线 BN 于点 C ，联结 DC ．设 AE x ， BC y ．（1）当 AD1时，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； |精.|品.|可.|编.|辑.|学.（2）在（ 1）的条件下，取线段 DC 的中点 F ，联结 EF ，如 EF 2.5 ，求 AE 的长；（3）假如动点 D 、 E 在运动时，始终满意条件 AD DE AB ，那么请探究： BCE 的周长是否随着动点 D 、 E 的运动而发生变化？请说明理由．|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. A D M EB C N图 1A MB N备用图答案 : （ 1） 可证 △ AED ∽ △BCE AD AEBE BCQ AE x, BC y ,AB 4 ,AD 1A D MBE 4 x1 x E F4 x yy x2 4 x 〔0x 4〕B H C N（ 2）QDE EC DEC90o又Q DF FCDC 2EF2 2.5=5过 D 点作 DH BN于H ， 就 DH AB 4RtVDHC中，HC BC BH HC521 3 432 =3第 4 页，共 13 页即 y 4x2 4 x 4解得： x1AE 2x2 2〔3〕 △ BCE 的周长不变，理由如下：CV AEDAE DE AD4 x, BE4 x ， |精.|品.设 AD m ，就 DE4 m ，|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. Q A 90o DE 2 AE 2 AD 22 2 2即，（ 4 - m） x m2m 16 x8由 〔1〕知: △AED ∽ △BCECV ADE AD16 x28 4 xCV BCECBE 4 x8 gC84 x8 g〔4x) 84 xVBCE V ADE△BCE 的周长不变 .例题2如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥CD，AB=2 ， AD=4 ， tanC= 4 ，∠ ADC=∠ DAB=90度， P3是腰 BC上一个动点（不含点 B、C），作 PQ AP交 CD于点 Q（图 1）（1） ） 求 BC的长与梯形 ABCD的面积；（2） ） 当 PQ=DQ时，求 BP的长；（图 2）（3） ） 设 BP=x，CQ=y,试求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；第 5 页，共 13 页A B A BPP |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | D答案：Q〔图1〕CD Q C〔图 2〕 * | * | |欢.|迎.|下.|载.1）如图过 B 点作 BE CD ，垂足为 E；在 Rt BEC 中， BEC=90 度， tanC=A B4 ， AD=BE=434∴ tanC=3BE， CE=3CE再利用勾股定理可得 BC=5 ； AB=DE=2 ∴ CD=51D E C所以 S 梯形 ABCD= 〔2 5〕24 14 ；〔图2〕2）如图过点 P 作 PN CD ，交 CD 于点 N，交 AB 的延长线于 M ；从已知条件可知点 P 实际上是点 D 沿 AQ 翻折而得到的，简洁推得 AP=4 ； A B MP梯形 ABCD ∴ AB∥ CD ∴∠ MBP=∠ C在 Rt BMP中，∠ BMP=90度， BP=x ,tan ∠BMP=tan∠ C= 43可推得 MP=4 x， BM= 3 x5 5在 Rt AMP中，利用勾股定理可推得3 4D Q N C〔图 2〕AM 2MP 2AP 2即 〔2x〕 25〔 x〕 2 165整理方程得5 x 212 x 60 0解之满意条件的 BP x6 4 21；5。