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2机械控制工程基础第二章答案要点 习 题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?以下用微分方程表示的系统中,xo表示系统输出,xi表示系统输入,哪些是线性系统? (1) ??o?2x (3) ??o?2x??2x?2x (2) ???2x??2tx?2x xxxoooioooi??2x?2x (4) ???2xx??2tx?2x xxooiooooi解: 但凡能用线性微分方程描述的系统就是线性系统线性系统的一个最重要特性就是它满意叠加原理该题中〔2〕和〔3〕是线性系统2.2 图〔题2.2〕中三同分别表示了三个机械系统求出它们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应 图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 即 ??x?)?cx??m?? c(xx1io2oo??(c?c)x? ?o?cxm?xo121i (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 ??x?)(x?x)k?c(xi1o(1)(2) ??x?)?kxc(xo2o消退中间变量有??kkx?ckx? c(k?k)x12o12o1i (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即??x?)?k(x?x)?kxc(xio1io2o??(k?k)x?cx??kx cxo12oi1i 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图〔题2.3〕 解:(1)对图(a)所示系统,设i1为流过R1的电流,i为总电流,那么有 1 u?Ri??idtC u?u?Rio22io111u?u??(i?i)dtCio11 消退中间变量,并化简有 1CR???(1??)u??CRuuCRRC1???(R?C)u???u?CRuCRRC1112oo22222112iii1221o (2)对图(b)所示系统，设i为电流，那么有 1 u?u?Ri??idtC1 u??idt?Ri Cio11o22 消退中间变量,并化简有 11)1(R?R)u(????uu?Ru?CCC12oo2ii1222.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程图中M为输入转矩,Cm为圆周阻尼，J为转动惯量 解：设系统输入为M〔即〕，输出?(即)，分别对圆盘和质块进展动力学分析，列写动力学方程如下： 消退中间变量 ??Rk(R??x)???C?M?J???c?? k(R??x)?m?xxmx,即可得到系统动力学方程22????(Rkm?Cc?KJ)????k?mJ??(mC?cJ)?〔cR?C〕????cM??KM?mM(4)mmm2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x3(t)。

〔1〕求当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态时输出值； 〔2〕在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y，写出新的线性化模型 解: (1) 将3=0,=1,=2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5xoxoxox(t)中,即当工作点为xo=0,xo=1,xo=2时相应的稳态输出值分别为yo?0,y?2.5,0y?8o (2) 依据非线性系统线性化的方法有，在工作点(非线性函数绽开成泰勒级数,并略去高阶项得x,y)oo旁边,将y??y?2x?0.5x?(2?1.5x)|x?x??x32oooo ? 假设令x?y?(2?1.5x)|x?x2o??x??x,y??y02有y?(2?1.5x)x2022 当工作点为xo?时,y?(2?1.5x)x?2x202 当工作点为xo?1时, 当工作点为xo?时, y?(2?1.5x)x?3.5x y?(2?1.5x)x?8x02.6确定滑阀节流口流量方程式为Q?cwx?v2p，式中．Q为通过节流阀流口的流量；p为节流阀流口的前后油压差；xv为节流阀的位移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；?为油密度。

试以Q与p为变量〔即将Q作为P的函数〕将节流阀流量方程线性化解：利用小偏差线性化的概念，将函数Q=F(xv，p)在预定工作点F(xo，po)处按泰勒级数绽开为Q?F(xvo,po)?(?F?xv?F)(xvo,po)??xv?(?P)(xvo,po)??p??消退高阶项，有Q?F(xvo,po)?(??F?xv?F)(xvo,po)??xv?(?P)(xvo,po)??p?Q?F(xv,p)?F(xvo,po) ?F(xvo,po)?(?F?xv)(xvo,po)??xv?(?)(xvo,po)??p?F(xvo,po)P?F?(?F?xv?F)(xvo,po)??xv?(?P)(xvo,po)??p?F?F)〔|xvo,p〕假设令K?(，K?(， |xvo,p〕)〔oo?p?xv12 ?Q?K1??x?Kv2??p将上式改写为增量方程的形式Q?K1?x?K?pv22.7 确定系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s)〔1〕???(t)y?(t)?50y?(t)?500y(t)???(t)?15?yr?(t)?2r?(t)?0.5r?(t) ?25y?(t)?0.5r(t) ?25y?(t)?6y(t)?4?y(t)dt?4r(t) ?3y〔2〕5??(t)y〔3〕??(t)y〔4〕??(t)y解：依据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进展拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。

(1) sY(s)?15sY(s)?50sY(s)?500Y(s)?sR(s)?2sR(s) s?2s ? Y(s)/R(s)?2?s?15s50s?50032222(2)5sY(s)?25sY(s)?0.5sR(s)2 ? (3)20.5sY(s)/R(s)?25s?25ssY(S)?25SY(s)?0.5R(s) ? Y(S)/R(s)?0.52ss?25 (4) 1sY(s)?3sY(S)?6Y(s)?4Y(s)?4Y(s)s24s ? Y(s)/R(s)?s3?3s2?6s?4 2.8 如图〔题2.8〕为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s) 2.9 试分析当反应环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为K,K,G(s)?TsG(s)?G(s)?Ts?1sG(s)GB(s)?1?G(s)?H(s),那么,而闭环传递函数为(1)当反应环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，KG(s)KTs?1??GB(s)?KTs?1?K1?G(s)?H(s)1?Ts?1G(s)Ts GB(s)??1?G(s)?H(s)1?Ts(2)当反应环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时， (3)当反应环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时，KG(s)Ks GB(s)???Ks?K1?G(s)?H(s)1?s〔即证明两系统的传递函数具有一样形式〕。

2.10 证明图〔题2.10〕与图〔题2.3〔a〕所示系统是相像系统 解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程 1u?R??idtCo22(1)(2)1u?u?Riio111u?u??(i?i)dtCio1(3) 对以上三式分别作Laplce别换，并留意到初始条件为零,即 ?(0)?0I(0)?I?2(0)?0I(0)?I1 那么 U(s)?RI(s)?O2iOI(s)C2s1i?(R2?1C2s)I(s) 〔4〕U(s)?U(S)?RI(s)I(s)I(s)?U(s)?U(S)?C1sC1siO 〔5〕 〔6〕(5)?1C1s,得1C1s?(s)??Ui??U(s)???0R1(s)I1C1s(7)(6)?R1, 得 R1?(s)??UiR1??U0(s)????R1I1(s)(8)C1sC1s0I(s)(7)?(8), 得(1C1s?R1)?(s)??Ui?U(s)????R1(s)IC1sCR11s即 U(s)?U(s)??I(s)?R1I(s)1?R1C1C1s1?R1C1siOR1I(s)那么 U(s)?U0(s)?1?R1C1i(9)将(4)式中的U0(s)代入(9)式 Ui(s)?(R2?1C2s)I(s)?R1I(s)1?R1C1 ?(R2?R1)I(s)C2s1?R1C1s?11再用(4)式与上式相比以消去I(s),即得电系统的传递函数为C2sU0(s) G(s)??R1U1(s)(R2?1?)I(s)C2s(1?R1C1s)R2?(R2?)I(s)1C2s?R2?R1C2s(1?R1C1s)?1而此题中，引入中间变量x,依动力学学问有对上二式分别进展拉式变换有2i0i?)c?(x?i?x(x-x)k?(x?o-x?)ci02o21?)c?kx?i?x(xo11????X(s)?X(s)(s)(s)-(s)?Ok?X?XXscX02??????????sc1X(s)?c1sX0(s)k1?c1s消退X(s)有k2?c2k2?c2sX0(s)s???kk2?c11c1sG(s)Xi(s)??s k2?c2k1?c1sc2s1?c1sk1比拟两系统的传递函数有 k2?1C2k1?1C1c2?R2 c?R11故这两个系统为相像系统。

2.11 一齿轮系如图〔题2.11〕所示图中，z1、z2、z3和z4分别为各齿轮齿数；J1、J2、和J3表示各种传动轴上的转动惯量，?1、?2和?3为各轴的角位移；Mm是电动机输出转矩试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程 2.12 求图〔题2.12〕所示两系统的传递函数 图〔题2。