《概率论与数理统计》教学课件（共8章）第3章 多维随机变量及其分布.pptx

概率论与数理统计第3章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.4 条件分布3.5 随机变量的相互独立性3.6 二维随机变量函数的概率分布3.1 二维随机变量及其分布 在实际问题中，除了经常遇到可用一个随机变量描述随机现象的情况外，还经常遇到需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述的随机现象的情况例如，在甲、乙两队的一场足球赛中，甲队的进球数X是一个随机变量，乙队的进球数Y也是一个随机变量.又例如，在机床上加工一个长方体零件，零件的长X、宽Y、高Z都是随机变量，加工精度与X、Y、Z都有关系，需要同时考虑这三个随机变量值得指出的是，在这些随机试验中出现的随机变量之间都有某种联系，因此, 逐个地来研究它们的性质是不够的，还需要把它们作为一个整体来研究3.1.1 二维随机变量3.1 二维随机变量及其分布 定义1设E是随机试验，=是E的样本空间，而X1(), X2(), Xn()是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1(), X2(), , n()为n维随机变量或n维随机向量通常把(X1(), X2(), , Xn()简记为(X1, X2, , Xn)。

在多维随机变量中，最简单的是二维随机变量而从二维随机变量到n(n3)维随机变量，在研究方法及结果上都无本质的差别，所以为了简单起见，我们只讨论二维随机变量，有关内容可以类推到n(n3)维的情形 从几何上看，一维随机变量可视为直线(一维空间)上的随机点，而二维随机变量可视为平面(二维空间)上的随机点3.1.1 二维随机变量3.1 二维随机变量及其分布 定义2设(X, Y)是二维随机变量，对于任意的实数x, y，二元函数F(x,y)=P(Xx)(Yy) PXx,Yy (3-1)称为二维随机变量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X与Y的联合分布函数 若将二维随机变量(X, Y)看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X, Y)落入以点(x,y)为顶点且位于该点左下方的无穷矩形域内(如图3-1所示的阴影部分)的概率3.1.2 二维随机变量的分布函数图 3-13.1 二维随机变量及其分布 依照上述解释，借助于图3-2容易算出随机点(X, Y)落在矩形域x1Xx2,y1Yy2的概率为Px1Xx2,y1a,Yb； (4)PaXb,Yc习题3.1 二维随机变量及其分布习题3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.1 二维离散型随机变量的分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.1 二维离散型随机变量的分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.1 二维离散型随机变量的分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布 在上面这个例子中，我们可以看到：“有放回取球”和“无放回取球”这两种情形，X，Y的边缘分布律是相同的，但它们的联合分布律不相同。

由此可见，联合分布律可以惟一地确定边缘分布律，即对单个随机变量X, Y的研究，并不能代替对二维随机变量(X, Y)的整体研究 (X, Y)的联合分布律及关于X、关于Y的边缘分布律可写成下面的表格：3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布 上表的中央部分是(X,Y)的分布律，表的边缘部分是关于X与Y的边缘分布律，它们由联合分布律的同一行或同一列相加而得因它们处于表的“边缘”位置，故称之为“边缘分布律”实际上，(X,Y)关于X的边缘分布律就是一维随机变量X的分布律；(X,Y)关于Y的边缘分布律就是一维随机变量Y的分布律称它们为边缘分布律是相对于它们的联合分布律而言的3.2.2 边缘分布律3.2 二维离散型随机变量及其概率分布 1.袋中有三个分别标着数字1, 2, 2的球，从袋中随机地摸两次(每次仅摸一球)，用X, Y分别记第一次和第二次摸到的球上标着的数字试按下述两种情况求(X,Y)的分布律及分布函数： (1) 无放回摸球； (2) 有放回摸球习题3.2 二维离散型随机变量及其概率分布习题3.2 二维离散型随机变量及其概率分布 3.盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球。

以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数求(X,Y)的分布律及边缘分布律习题3.2 二维离散型随机变量及其概率分布 4.将一均匀硬币连续投掷三次，以X表示三次投掷出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试求(X,Y)的分布律及边缘分布律习题3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.1 二维连续型随机变量及其概率密度3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.2 二维均匀分布与二维正态分布3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.2 二维均匀分布与二维正态分布3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.2 二维均匀分布与二维正态分布3.3 二维连续型随机变量及其概率密度3.3.2 二维均匀分布与二维正态分布3.3 二维连续型随机变量及其概率密度2. 二维正态分布 我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，亦即对于给定的1, 2, 1, 2, 不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的。

这一事实表明，仅由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量X和Y的联合分布的3.3.2 二维均匀分布与二维正态分布3.3 二维连续型随机变量及其概率密度习题3.3 二维连续型随机变量及其概率密度习题3.3 二维连续型随机变量及其概率密度习题3.3 二维连续型随机变量及其概率密度 4. 设G是由直线y=x，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布 试求： (1) (X, Y)的概率密度； (2) PY-X1； (3) (X, Y)的边缘概率密度习题3.3 二维连续型随机变量及其概率密度习题3.4 条件分布3.4.1 离散型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.1 离散型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.1 离散型随机变量的条件分布3.4 条件分布 对比本例的两组答案，可以发现：对于有放回取球，在X=0的条件下，Y的条件分布律与Y的无条件分布律相同这表明条件X=0对Y的分布律没有产生任何影响(把条件换成X=1，上述结论依然成立) 但对于无放回取球方式，在同样条件下，Y的条件分布律不同于Y的无条件分布律不仅如此，在X=0，X=1的条件下，相应的Y的条件分布律也各不相同(留给读者验证)。

这说明在无放回取球方式下，Y的条件分布律与条件X=0(或X=1)是息息相关的3.4.1 离散型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.1 离散型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.1 离散型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.2 连续型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.2 连续型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.2 连续型随机变量的条件分布3.4 条件分布3.4.2 连续型随机变量的条件分布3.4 条件分布 例4设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到X=x(0 x2)个随机变量的场合3.5 随机变量的相互独立性 定义2对于任意n个实数x1, x2, , xn,称n元函数F(x1, x2, , xn)=PX1x1, X2x2, , Xnxn为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质3.5 随机变量的相互独立性3.5 随机变量的相互独立性3.5 随机变量的相互独立性 定义5设m维随机变量(X1, X2, , Xm)的分布函数为F1(x1, x2, , xm)，n维随机变量(Y1, Y2, , Yn)的分布函数为F2(y1, y2, , yn)，m+n维随机变量(X1, X2, , Xm, Y1, Y2, , Yn)的分布函数为F(x1, x2, , xm, y1, y2, , yn)。

若对任意实数x1, x2, , xm, y1, y2, , yn，都有F(x1, x2, , xm, y1, y2, , yn)=F1(x1, x2, , xm)F2(y1, y2, , yn),则称(X1, X2, , Xm)与(Y1, Y2, , Yn)是相互独立的 下面给出有关独立性的重要定理：3.5 随机变量的相互独立性 定理3设(X1, X2, , Xm)与(Y1, Y2, , Yn)相互独立，若h，g是连续函数，则h(X1, X2, , Xm)与g(Y1, Y2, , Yn)也相互独立 定理3的证明因超出本书的范围，此处从略3.5 随机变量的相互独立性 1.判断习题3-2的第1题、第4题中的X与Y是否相互独立习题3.5 随机变量的相互独立性 2.判断习题3-3的第1题中的X与Y是否相互独立习题3.5 随机变量的相互独立性 3.已知二维随机变量(X, Y)的分布律为问a，b为何值时，X与Y相互独立?习题3.5 随机变量的相互独立性 4. 设X与Y相互独立，且分布律分别为 求二维随机变量(X, Y)的分布律习题3.5 随机变量的相互独立性习题3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布图 3-33.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布 例3设二维随机变量(X, Y)的分布律为 求Z=X+Y的概率分布。

3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布 解X的可能取值是0, 1, Y的可能取值是0, 1, 2, 容易看出，Z=X+Y的可能取值是0, 1, 2, 3PZ=0=PX+Y=0=PX=0, Y=0=0.2, PZ=1=PX+Y=1=PX=0, Y=1+PX=1, Y=0 =0.1+0.3=0.4,PZ=2=PX+Y=2=PX=0, Y=2+PX=1, Y=1 =0.1+0.2=0.3,PZ=3=PX+Y=3=PX=1, Y=2=0.1.所以，Z=X+Y的概率分布为3.6.1 Z=X+Y的概率分布3.6 二维随机变量函数的概率分布图 3-。