
第四章稳定性与李雅普诺夫方法..ppt
138页第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,4.1 李雅普诺夫稳定性概念 4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性,系统、定常系统和 时变系统的稳定性,是更为一般的稳定性分析方法李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法,又称李雅普诺夫直接法李雅普诺夫稳定性理论,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,4.1 李雅普诺夫稳定性概念,1、稳定性: 一个自动控制系统当受到外界干扰时,它的平衡状态被破坏,但在外扰去掉后, 它仍有能力自动地在平衡状态状态下继续工作,系统的这种性能,称为稳定性 2、稳定系统: 具有稳定性的系统称为稳定系统反之为不稳定系统一.物理基础,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件 控制系统的稳定性,通常有两种定义方式 一种是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。
适用范围: 只适用于线性系统 另一种是指系统在零输人条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性适用范围:不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,稳定性由控制系统内部储能元件的能量不可能突变所产生的惯性滞后作用所导致在实际的应用系统中,由于系统中存在储能元件,并且每个元件都存在惯性这样当给定系统的输入时,输出量一般会在期望的输出量之间摆动此时系统会从外界吸收能量对于稳定的系统振荡是减幅的,而对于不稳定的系统,振荡是增幅的振荡前者会平衡于一个状态,后者却会不断增大直到系统被损坏第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,控制系统的外部稳定性,常称为有界输入有界输出稳定性在讨论系统的外部稳定性时,一般只适用于线性动态系统,而且必须假定系统的初始条件为零 外部稳定性的定义是,初始条件为零的线性系统,对任何一个有界的输入作用下,若系统所产生的相应输出也是有界的,就称该动态系统是外部稳定的,又简称为BIBO稳定外部稳定性,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,“有界”涵义: 对于单输入、单输出系统来说,输入u(t)和输出y(t)的有界性,是通过它们各自的模的有界性来表征的。
即是说,对于任何一个输人u(t)的有界性,有,系统相应输出y(t)的有界性,有,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,单输入-多输出系统,其输出y(t)可表示如下:,这时,输出量y(t)的有界性可按输出向量的范数来定义,也可以等效地按y(t)的每个分量 值的模有界性来定义,即,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,对于多输入—多输出系统来说,输入量u(t)和输出量y(t)的有界涵义,可以等效地按其每个分量值的模的有界性来表征,即若:,则有界的涵义为,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,为了进一步理解系统外部稳定性的定义,下面以单输入-单输出系统为例加以说明第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,内部稳定性,一般情况而言,动态系统的内部稳定性是指系统零输入时内部状态自由运动的稳定性,通常是采用俄国数学家李雅普诺夫所提出的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义是针对系统的平衡状态而言它不仅适用于单变量、线性、定常系统,而且也适用于多变量、非线性和时变系统 第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,系统的传递函数极点与系统的特征值完全相同: 外部稳定性-------传递函数极点的性质 状态稳定性-------状态解的运动轨迹来决定-----状态转移矩阵-----系统的特征值。
当分子和分母多项式含有正极点的公因子项时,在传递函数中,由于零、极点对消后没有出现该正极点,系统具有外部稳定性;而与正特征值相对应的状态变量是不稳定的若该系统不具有能控能观性------分子和分母存在有相同的公因子-------传递函数极点数只是系统特征值的一部分如果系统具有外部稳定性,内部稳定性??,若系统具有内部稳定性,也一定具有外部稳定性第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,由以上分析,对线性定常系统可得出如下结论: 1)若内部稳定,则一定是“外部稳定”的 2)若是“外部稳定”的,则不能保证其是“内部稳定”的 3)若线性定常系统具有能控能观性,则其内部稳定性和外部稳定性是等价的 由此可见,动态系统的内部稳定性的定义要比外部稳定性的定义严格只用传递函数的极点性质来判定该系统的稳定性并不一定能真正反映出系统稳定的性能,甚至有可能导致错误一个具有外部稳定的系统,完全有可能由于内部状态的不稳定性造成系统中某些元部件的饱和,甚至损坏而使系统无法正常工作第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,3、系统稳定性的数学表示法,系统在受外界干扰后,系统偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示为:,为系统被调量偏离其平衡位置的大小,ε为 任意小的规定量。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,劳斯—胡尔维茨稳定性判据 古典控制论: 乃奎斯特稳定性判据,经典控制理论-------劳斯判据、Huiwitz稳定判据、Nquist判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性,但不适用于非线性和时变系统分析非线性系统稳定性的相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统4、研究系统稳定性的方法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,高阶微分方程线性系统的特征根,即特征方程 的根, 均具有负实部,则系统稳定; 有一个零根或一对虚根而其余根有负实部,则系统属临界情况; 其他情况,系统不稳定 为避免求根而直接由方程的系数判别系统的稳定性,有劳斯—胡尔维茨代数判据第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,1892年俄国学者李雅普诺夫(Lyapunov)发表了《运动稳定性一般问题》论文,建立了运动稳定性的一般理论和方法它采用状态向量来描述,不仅适用于单变量、线性、定常系统,还适用于多变量、非线性、时变系统第一法:解系统的微分方程式,然后根据解的性质来判断系统的稳定性,或根据特征方程 根的情况来判据稳定性,这是一种间接方法建立在一个直观的物理事实上,如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的,即 ,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,那么随着系统的运动,其贮存的能量将随时间增长而衰减,直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。
实际系统很难找到一个统一的,简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数李氏认为在判断一个系统的稳定性时,不一定非要找到系统的真正能量函数,可以根据不同的系统虚 构一个广义的能量函数,称为李雅普诺夫函数(李氏函数)李氏函数能满足一定的条件,根据它来判据系统的稳定性第二法:,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,5、平衡状态 系统一般描述: X为n维状态向量 平衡状态:当在任意时间都能满足 称Xe为系统的平衡状态或平衡点 对于线性定常系统 A为非奇异时,X=0是其唯一的平衡状态 A为奇异时,系统有无穷多个平衡状态 对于非线性系统,有一个或多个平衡状态 对任意 ,总可经过一定的坐标变换,把它 化到坐标原点(即零状态)第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,1.平衡状态,稳定性问题是系统自身的一种动态属性,与外部 输入无关令系统的状态方程为:,初始状态:,,相应的解:,表示状态向量的初始值,,为初始时刻平衡状态的定义:若对所有t,状态x满足,,,则称该状态x为平衡状态,记为:,,满足下式:,二、李亚普诺夫意义下的稳定性概念,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,变化。
由平衡状态在状态空间确定的点,称为平 衡点平衡状态的求法:,a.线性系统,A非奇异:,平衡状态的各分量相对时间不再发生,,,b.非线性系统 可能有多个 eg.,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,令,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,2.范数的概念,定义:n维状态空间中,向量x的长度称为向量的,表示,则有:,向量的距离:,当,限定在某一范围之内时,记做,范数,用,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,1) 稳定性,,定义:对于系统,,若任意给定实数,,都存在,,使得:,,从初始状态,出发的解,满足:,,则称平衡状态,是稳定的3.李亚普诺夫意义下的稳定性概念,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,要注意到,按李雅普诺夫意义下的稳定性定义,当系统作不衰减的振荡运动时,将在平面描绘出一条封闭曲线,但只要不超过,,则认为稳定,,这同经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,2)渐近稳定性,定义:对于系统,,若任意给定实数,,都存在,,使得:,,从初始状态,出发的解,满足:,且对于任意小量,,总有:,,则称平衡状态,是渐进稳定的。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,3)大范围渐近稳定性 当初始条件扩展至整个状态空间,且具有渐近稳定性时,称此平衡状态是大范围渐近稳定的此时,δ→∞,S(δ) →∞当t→∞时,对于线性系统,如果它是渐近稳定的,必具有大范围渐近稳定性,因为线性系统稳定性与初始条件无关非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关,其δ总是有限的,通常只能在小范围内渐近稳定 系统为大范围渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,局部渐近稳定,大范围渐近稳定,大范围渐近稳定性,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,4)不稳定,定义:对于系统,,若任意给定实数,,都存在,,使得:,,从初始状态,出发的解,,总有:,,则称平衡状态,是不稳定的第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,对线性系统来讲,任意一个孤立的平衡状态都可以通过坐标变化转移到状态空间的原点因此分析坐标原点的稳定性具有代表意义 对非线性系统来讲,如果具有多个平衡状态,各平衡状态的稳定性有可能不同。
因此应对每个平衡状态分别进行分析 稳定和渐近稳定有很大的区别在实际工程中,通常认为渐近稳定比稳定的性质更为重要 对线性系统而言,如果平衡状态是渐近稳定的,那么也一定是大范围渐近稳定的5)应注意的几个问题,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,4.1 李雅普诺夫稳定性概念 4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.5 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法(第一法),间接法:利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法 适应范围:线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统1. 间接判别法,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,2. 线性定常系统稳定性的特征值判据,平衡状态xe=0渐进稳定的充要条件:,系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部,即,,,系统,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,,,,,,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,解:由A阵。












