正弦、余弦函数的性质--单,奇.ppt

1.4.2正弦、余弦函数的性质,单调性、奇偶性、最值,广水一中,正、余弦函数图像特征：,在函数 的图象上，起关键作用的点有：,最高点：,最低点：,与x轴的交点：,,,,,,知识回顾:,在函数 的图象上，起关键作用的点有：,最高点：,最低点：,与x轴的交点：,,,,,,余弦函数图像特征：,y=sinx (xR),y=cosx (xR),,,定义域,值 域,周期性,R,[ - 1, 1 ],T = 2,重要知识点一:定义域，值域，周期性,一、正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性,求三角函数周期一般结论:,,y=sinx,y=sinx (xR) 图象关于原点对称,重要知识点二:奇偶性,sin(-x)= - sinx (xR),y=sinx (xR),,是奇函数,cos(-x)= cosx (xR),y=cosx (xR),,是偶函数,定义域关于原点对称,,二、正弦、余弦函数的奇偶性,重要知识点二:奇偶性,三、正弦函数的单调性,,y=sinx (xR),增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1,,… 0 … …  …,,-1,0,1,0,-1,,,,,减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1,[ +2k, +2k],kZ,[ +2k, +2k],kZ,重要知识点三:单调性,三、余弦函数的单调性,y=cosx (xR),,- … … 0 … … ,-1,0,1,0,-1,,,,,重要知识点三:单调性,单调性,y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.,y=sinx在每一个闭区间[- +2kπ, +2kπ] (k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[ +2kπ， +2kπ] (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.,重要知识点三:单调性,当且仅当,当且仅当,当且仅当,当且仅当,四、正弦、余弦函数的最值,重要知识点四:最值,五、正弦、余弦函数的对称性,y=sinx的图象对称轴为：,y=sinx的图象对称中心为：,y=cosx的图象对称轴为：,y=cosx的图象对称中心为：,任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.,,,,,,,,,重要知识点五:对称性,例3 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合,（1） y=cosx＋1，x∈R；,题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：,例3 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合,（2）y=－3sin2x，x∈R.,题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：,补充、求函数 的值域.,又∵-1≤sinx≤1,∴原函数的值域为：[-4,0],∴当sinx=1时，y有最大值0,∴当sinx=-1时，y有最小值-4,题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：,变题：已知函数 （a为常 数，且a＜0），求该函数的最小值.,练习:求下列函数的最值，并找出取最值时的x的集合,练习:求下列函数的最值，并求出取最值时的x的集合,练习:求下列函数的最值，并求出取最值时的x的集合,题型总结(二)---三角函数值域、最值的求法：,（1）化为一个角的三角函数形式。

利用|sinx|≤1,|cosx|≤1求解型如y=asinx+b(a≠0)或y=acosx+b(a≠0),（2）转化为二次函数形式利用函数y=ax2+bx+c在闭区间[-1,1]上的最值求解型如y=asin2x+bsinx+c(a≠0) 或y=acos2x+bcosx+c(a≠0),题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：,例：求下列函数的定义域、值域,解(1)：定义域：R. 值域：[-1,1].,∴值域为,解（2）：∵-3sinx ≥0,∴sinx ≤0,∴定义域为,{x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z},又∵-1≤sinx ≤0,∴0≤-3sinx ≤3,题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：,例：求下列函数的定义域、值域,∴值域为（－∞，0],解（3）：∵sinx 0,∴定义域为,{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z},又∵0sinx ≤1,∴-∞lgsinx ≤0,当cosx=1 即x=2kπ(k∈Z)时,y取到最大值3 .,解：∵ cosx≥0,由 0≤cosx≤1,例：求函数y = 2 +1 的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？,∴函数定义域为,∴函数值域为[ 1 ， 3],题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：,例4.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：,题型总结(三)---三角函数单调性的应用：,例4.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：,题型总结(三)---三角函数单调性的应用：,练习：若△ABC是锐角三角形，试比较sinA与cosB的大小. 若△ABC是钝角三角形，且∠C为钝角，则sinA与cosB的大小关系又如何？,注：⑴三角形中角的认识、表示、转化；,⑵三角函数单调性的应用.,题型总结(三)---三角函数单调性的应用：比较三角函数值的大小的方法步骤,（1）化为同名三角函数,（2）化在同一单调区间上,（3）利用单调性进行比较,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,正弦、余弦函数的奇偶性、单调性,奇偶性,单调性（单调区间）,奇函数,偶函数,[ +2k, +2k],kZ,单调递增,[ +2k, +2k],kZ,单调递减,函数,求函数的单调区间的方法：,1. 直接利用相关性质,2. 复合函数的单调性,3. 利用图象寻找单调区间,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,练习：求下列函数的单调区间：,(1) y=2sin(-x ),解： y=2sin(-x ) = -2sinx,,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,练习 求下列函数的单调区间：,,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,,,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,练习 求下列函数的单调区间：,,练习 求下列函数的单调区间：,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,(5) y = -| sin(x+ )|,解：,令x+ =u ,,则 y= -|sinu| 大致图象如下：,,减区间为,增区间为,,即：,y为减函数,题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：,练习 求下列函数的单调区间：,C,-1,（ ）,题型总结(五)----对称性的应用：,[-1,1],正弦、余弦函数的图像和性质,奇偶性,单调性（单调区间）,奇函数,偶函数,[ +2k, +2k],kZ,单调递增,[ +2k, +2k],kZ,单调递减,函数,1、定义域,2、值域,3、周期性,R,[ - 1, 1 ],T = 2,正弦、余弦函数的性质：,4、奇偶性与单调性：,课堂小结:,(二次最值问题),课堂小结:,注： ⑴求函数的单调区间：,1. 直接利用相关性质,2. 复合函数的单调性,3. 利用图象寻找单调区间,5、对称性：,y=sinx的图象对称轴为：,对称中心为：,y=cosx的图象对称轴为：,对称中心为：,任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.,⑵函数的单调性应用,。