华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案.pdf

习题一 习题一 2 9.0( , ) 11 0 cos , sin ( , )( cos , sin ), cossin; sincos. sin cos; s xxyy rrr rxy xy xr y laplaceuur uuu rr xr yr u x yu rr uuu ururu uuu r u θθ θ θ θ θ θ θθ θθ θθ θ θ += ++= =⎧ ⎨ = ⎩ ∴= =+⎧ ⎪ ⎨ = −+ ⎪ ⎩ =− ⇒ = ∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos; coscos in.sin. sin ()cos() sinsin coscos r xx xrr uu ryrr uu u xxrrx uu rrrr θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ θ θθ θθ θθ ⎧ ∂∂∂⎛⎞ ⎧ =− ⎜⎟⎪ ⎪ ∂∂∂ ⎝⎠⎪⎪ ⇒ ⎨⎨ ∂∂∂⎛⎞ ⎪⎪ +=+ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎩∂∂∂ ⎝⎠ ⎩ ∂∂∂∂∂⎛⎞ ==− ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ∂∂∂∂⎛⎞⎛ =−− ⎜⎟⎜ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝ 从而 222 2 222 222 222 sincossincossin cos sincossincossin . cos ()sin() sin yy uuuu rrrrrr uuu rrrr uu u yyrry θθθθθ θ θθ θθθθθ θθθ θ θ θ ⎞ ⎟ ⎠ ∂∂∂∂ =+−+ ∂∂∂ ∂∂ ∂∂∂ −++ ∂ ∂∂∂ ∂∂∂∂∂⎛⎞ ==+ ⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ = 222 2 222 222 222 coscos sin sincossincoscos sin sincossincoscos . 1 xxyyrr uu rrrr uuuu rrrrrr uuu rrrr uuuu r θθ θθ θθ θθθθθ θ θθ θθθθθ θθθ ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞ ++ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∂∂∂∂ =−++ ∂∂∂ ∂∂ ∂∂∂ +−+ ∂ ∂∂∂ +=+ 所以 2 1 0. r u r θθ += 华中科技大学数理 方程与特 殊函数课 后答案 习题二 习题二 2 1. (01,0), (0, )(1, )0, 1 ,0. (2) 2 ( ,0) 1 1,1, 2 ( ,0)(1); ttxx t ua uxt utut xx u x xx u xx x ⎧= ⎪ == ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ () 2 2 ( , )( ) ( ). ( )( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. 21 () ,( 2 nn u x tX x T t T ta T t X xX x XX l X xX x XX l n X l λ λ λ π λ = ′′+= ′′+= ′== ′′+= ⎧ ⎨ ′== ⎩ + = 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， () ()() ()()() 1 21 )sin(0,1,2,). 2 2121 ( )cossin(0,1,2,). 22 212121 ( , )(cossin)sin. 222 235 (3sin6sin 22 n nnn nn n n n xBxn l anan T tCtDtn ll anann u x tat btx lll xx a ll π ππ πππ ππ ∞ = + == ++ =+= +++ =+ =+ ∑ ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 () 0 3,1; 21 )sin6,2; 2 0,12. 0. 3355 ( , )3cossin6cossin. 2222 l n n n xdxn ll n b aa u x ttxtx llll π ππππ =⎧ + ⎪ == ⎨ ⎪ ≠ ⎩ = =+ ∫ 、 因此，所求定解问题的解为 3. 4(0,0), (2)(0, )0,( , )0, ( ,0)(). txx xx uuxl t utul t u xx lx =⎧ ⎪ == ⎨ ⎪ =− ⎩ 求下列定解问题的解： 2 ( , )( ) ( ). ( )4( )0, ( )( )0. (0)( )0. ( )( )0, (0)( )0. () ,( ) nn u x tX x T t T tT t XxX x XXl XxX x XXl n XxA l λ λ λ π λ = ′+= ′′+= ′′== ′′+= ⎧ ⎨ ′′== ⎩ == 解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题 得， 2 2 2 () 2 () 0 1 2 0 0 0 cos(0,1,2,). ( )(0,1,2,). 1 ( , )cos. 2 22 (). 6 2 ()cos n n t l nn n t l n n l l n n xn l T tD en n u x taa ex l l ax lx dx l n ax lxxd ll π π π π π − ∞ − = = == =+ =−= =− ∑ ∫ ∫ ? ? 代入另一常微分方程，得 则 其中 2 2 22 222 () 22 1 2 [ 1( 1) ] . 2 [ 1( 1) ] ( , )cos. 6 n nn t l n l x n lln u x tex nl π π π π ∞ − = −− + − = −− + − =+∑ 因此，所求定解问题的解为 2 5. 11 0(01), ,0, (1, ) 0,. ,. rrr uuur rr A u A θθ θα θ αθπ α ⎧ ++= ⎪ == ⎨ ⎪ = ⎩ = = ==− ∑ ∑ ∫ 解：由固有函数法 相应的固有函数系为 设方程的解为 并将 展为： ， 其中 2 2 2 () 0 2 332 1) ]. 2 [1( 1) ], (0)0. 2 ( )[1( 1) ] 2 [1( 1) ][1]. ( , n n nn n n a t t nl n n a t nl n aA uu ln u A uted n Al e na u x π τ π π π τ π π ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ −⎜ ⎟ ⎝⎠ − ⎧ ⎛⎞ ′ +=− −⎪ ⎜⎟ ⎨⎝⎠ ⎪ = ⎩ =− − =− −− ∫ 代入原方程可得 得: 故所求的解为 2 2 332 1 2 )[1( 1) ][1]sin. n a t nl n Aln tex nal π π π ⎛⎞ ∞ −⎜ ⎟ ⎝⎠ = =− −− ∑ () 2 2 11. 22 4sincos, (2)(0, )0, ( , )(0), ( ,0),( ,0)()(0). ( , )( , )( ). 22 4sincos, (0, )(0 ttxx t ttxx ua uxx ll utu l tBt B u xx u xx lxxl l u x tv x tw x vavwxx ll vtw ππ ππ ⎧ =+ ⎪ ⎪ ==≥ ⎨ ⎪ ⎪==−≤≤ ⎩ =+ ′′=++ + 求下列问题的解 解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得 2 2 22 2 )0, ( , )( ), ( ,0)( ),( ,0)(). 22 4sincos0, (0)0( ). 4 ( )sin. 8 (0, )0, ( , )0, ( ,0) t ttxx v l tw lB B v xw xx v xx lx l a wxx ll ww lB Bl w txx lal va v vtv l t v x ππ π π ⎧ ⎪ ⎪ =+= ⎨ ⎪ ⎪+==− ⎩ ⎧ ′′+ = ⎪ ⎨ ⎪ == ⎩ =+ = == = 化成下面两个问题： (1) ， 解得： (2) 1 2 2 22 0 22 3 4 0 ( ),( ,0)(). ( , )cossinsin. 0,4; 24 sinsin 8,4. 8 24 () sin t nn n l n l n B xw x v xx lx l n an an v x tatbtx lll n ln axxdx l lalln a nl bx lxxdx n aln πππ ππ π π π ππ ∞ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪−=− ⎩ ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ ≠⎧ ⎪ =−⋅=⎨− = ⎪ ⎩ =−⋅= ∑ ∫ ∫ 解得： 其中， () () () 4 3 2 2244 1 2 22 3 44 [11 ]. 4 [11 ]44 ( , )cossinsinsin. 8 44 ( , )( , )( )1 cossin 8 4 [11 ] si n n n n a llan an v x ttxtx allnall Bla u x tv x tw xxtx lall l na ππππ ππ ππ π π ∞ = − − − − = −+ ⎛⎞ =+=+− ⎜⎟ ⎝⎠ − − + ∑ 则 因此，原问题的解为 1 nsin. n n an tx ll ππ ∞ = ∑ 14 0, (2) (- )( ),(- )( ). 0( ). :0 xx XX XXXX X xAeBe AeBeAeBe AeBeAeBe AB λλ λπλπλπλπ λπλπλπλπ λ ππππ λ λλλλ −− − − −−−− − − −−−− − ′′+ =⎧ ⎨ ′′== ⎩ =+ −=+ +=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得 当时，方程的通解为 由边界条件，有 2 2 sincos; ( )0sin0 (1,2,);( )cossin. (0,1,2,), ( )cossin. nnnn n nnn B X x nnX xAnxBnx nn X xAnxBnx λλπλλπ λπ λ λ + = ===+ == =+ ?? ?? 要不恒等于 ，则，得 故，固有值 固有函数 2 2 2 ( )( )0, (3) (1)( )0. ln , ( )0. 0( ). 0 0 : x y xxy xy yy e xex d y y d y xAeBeAxBx A B AeBe τ λτλτλλ λλ λ τ λ τ τ λ −− −−− − −− − ′′′⎧++= ⎨ == ⎩ == += =+ =+ = 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得 当时，方程的通解为 由边界条件，有 () () 22 2 sin0; ( )0sin0 (1,2,);( )sinln. (1,2,), ( )sinln. nnn n nn B y x nny xBnx nn y xBnx λ λ λππ λ π = = === == = ?? ?? 要不恒等于 ，则，得 故，固有值 固有函数 。